대치동 고등수학과외, 말이 멈춘 계산 줄에서 드러난 합성함수의 순서
합성함수의 입력 순서를 설명하던 중 그래프 옆 메모에서 말이 멈췄다. 손으로 남긴 풀이에는 바깥 함수와 안쪽 함수를 같은 순서로 계산한 흔적이 있었다. 대치동 고등수학과외 학습 기록을 살펴볼 때도 이런 장면은 단순한 계산 실수보다 먼저, 입력값이 어느 함수에 들어가는지 적었는지를 살펴야 한다.
최초 식과 수정 뒤 식이 갈린 한 줄
짧은 설명과 답안의 같은 줄을 맞대어 보니, 같은 유형의 두 답안에서 바뀐 조건을 놓친 줄이 선명해졌다. 학생은 두 함수를 각각 계산한 뒤 결과를 합치면 합성함수가 된다고 예상했다. 풀이가 짧다는 점도 근거가 분명한 방법과 같은 것으로 보았다.
하지만 답안에는 입력값이 먼저 들어가는 함수를 표시한 흔적이 없었다. 그래서 함수가 적용되는 순서가 뒤집혔고, 역검산에서도 풀이 길이만 비교하다 보니 중간 확인점이 있는 방법을 선택하지 못했다. 문제는 계산량이 아니라 입력의 이동을 기록하지 않은 데서 시작됐다.
공통 조건과 새 조건을 나누자 보인 입력의 이동
학생은 공통 조건과 새 조건을 두 칸으로 나누어 적었다. 이어 입력값이 이동하는 방향을 화살표로 그린 뒤, 안쪽 함수의 결과를 바깥 함수의 괄호 안에 넣었다. 이때 조건마다 대응 기호를 정하고, 그 기호가 처음 쓰인 식까지 화살표로 연결했다. 합성기호를 보고 안쪽 함수에 먼저 표시한다. 입력값의 이동을 화살표로 남긴다. 안쪽 함수의 결과를 바깥 함수의 괄호에 넣는다. 조건별 대응 기호가 처음 등장한 식까지 이어 본다.
수정한 자료에는 최종값만 남기지 않고 원식 대입, 합성기호, 입력 화살표, 괄호 안 중간값을 세 줄로 보존했다. 첫 행동부터 검산까지의 순서도 번호로 표시했다. 지우지 않은 최초 식은 왜 수정이 필요했는지를 보여 주는 비교 자료가 됐다.
식이 짧은 쪽보다 근거가 이어지는 쪽을 고른 장면
새 문항에서는 식이 짧은 쪽이 아니라 설명을 이어 갈 수 있는 쪽을 택했다. 기호 순서가 바뀐 합성함수에서도 입력 화살표를 먼저 그렸고, 마지막 답을 적기 전에는 원래 조건에 되돌려 넣는 순서를 유지했다.
처음 풀이와 달리 학생은 결과만 합치지 않았다. 어느 값이 먼저 함수에 들어갔는지, 그 결과가 어느 괄호로 이동했는지를 답안에 남겼다. 조건이 달라진 문제에서도 같은 수학적 기준이 이어졌다는 점은 최종값보다 이 중간 기록에서 드러났다.
다음 합성함수에서 먼저 볼 한 가지
다음 문제에서는 합성기호가 보이는 즉시 안쪽 함수에 먼저 표시하는지 살핀다. 풀이가 둘 이상이면 계산량만 비교하지 않고, 입력 순서와 중간값처럼 근거가 드러나는 위치가 있는지도 함께 본다. 이 학습 기록 학습에서 다시 확인할 최소 기준은 답을 맞혔는지가 아니라, 입력 화살표와 괄호 안 중간값이 남아 있는지다.