구리 고등수학과외, 경계값에서 드러난 합성함수 입력 순서의 반례
구리 고등수학과외 학습 기록을 살펴보던 중, 일반적인 값에서는 맞아 보이던 합성함수 풀이가 경계값에서 흔들리는 장면이 보였다. 오답노트 여백에는 바깥 함수와 안쪽 함수를 같은 순서로 계산한 흔적이 남아 있었다.
대표값과 예외 후보를 한 종이에 놓다
학생은 대표값 계산과 예외 후보를 같은 종이에 적었다. 두 함수를 각각 계산한 뒤 결과를 합치면 합성함수가 된다고 생각했기 때문에, 대표적인 값에서 성립한 결과를 전체 범위에도 적용했다.
하지만 재풀이 과정에서 학생이 버린 선택을 설명하자 정답표에는 드러나지 않던 판단 근거가 나타났다. 맞은 결과만 남긴 것이 아니라, 왜 한 선택을 제외했는지까지 살펴보아야 풀이의 구조가 보였다.
최종값보다 먼저 살펴야 했던 입력의 이동
실제 원인은 계산 능력보다 입력값의 이동을 표시하지 않은 데 있었다. 입력값이 먼저 들어가는 함수를 적지 않아 적용 순서가 뒤집혔고, 정답 여부와 다른 사람이 독립적으로 재현할 수 있는지를 같은 완료 표시로 처리했다.
합성함수에서는 두 함수를 나란히 계산하는 것이 아니라, 입력값이 먼저 어느 함수로 들어가고 그 결과가 다음 함수의 입력이 되는지를 식 안에서 드러내야 한다.
괄호 안 중간값을 남긴 교정
학생은 최종값을 계산식과 문장 조건에 각각 대입했다. 두 결과가 충돌한 줄에는 표시를 남기고, 입력값이 이동하는 방향을 화살표로 그렸다. 이어 안쪽 함수의 결과를 바깥 함수의 괄호 안에 넣어 합성 순서를 다시 적었다.
조건마다 대응 기호를 정한 뒤에는 그 기호가 처음 쓰인 식까지 화살표로 이었다. 최종값, 원식 대입, 합성기호, 입력 화살표, 괄호 안 중간값은 세 줄로 보존했고, 버린 선택과 남긴 선택 아래에는 각각 근거 문장을 붙였다.
기호 순서가 달라진 문항에서의 재적용
다음에는 기호 순서가 바뀐 합성함수가 제시됐다. 학생은 교사의 질문을 기다리지 않고 입력 화살표부터 그렸다. 수정 전 판단이 왜 맞지 않았는지, 어떤 선택을 버렸는지를 자신의 말로 설명한 뒤 안쪽 함수의 결과를 바깥 함수에 넣는 식을 먼저 만들었다.
이는 같은 문제를 다시 외운 장면과 달랐다. 조건 배열이 달라졌는데도 입력의 이동을 먼저 표시하고, 대응 기호가 처음 등장한 식까지 연결했다는 점에서 바뀐 기준이 다른 자료에도 이어졌는지 확인할 수 있었다.