우만동 고등수학과외, 경계값에서 드러난 행렬 곱셈의 반례
우만동 고등수학과외 학습 기록에서 눈에 들어온 장면은 일반적인 값에서는 맞아 보이던 행렬 곱셈이 경계값에서 흔들린 순간이었다. 조건에는 밑줄이 그어져 있었지만, 식 아래에는 같은 위치의 원소끼리 곱한 계산이 이어져 있었다.
대표값의 성공과 예외 후보가 한 종이에 놓인 이유
학생은 대표값 계산과 예외 후보를 같은 종이에 적었다. 계산 전 예상과 계산 후 검토를 나누어 보자, 어느 순간 자신의 판단이 달라졌는지가 드러났다. 처음에는 행렬의 곱도 성분별 곱셈과 같은 방식이라고 생각했다.
해설을 이해한 경험도 혼자 첫 식을 만들 수 있다는 증거로 받아들였다. 그러나 조건 밑줄과 실제 식 사이에는 행과 열이 만나는 표시가 없었다.
같은 위치의 곱이 아니라 행과 열의 내적
공통 조건과 새 조건을 두 칸으로 나누어 적은 뒤, 학생은 이어 계산할 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 각각 괄호로 묶었다. 결과 행렬의 한 원소를 만들 때에도 같은 위치의 원소를 곱하는 대신, 선택한 행과 열의 내적을 계산했다.
앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열이 만나는 규칙을 먼저 표시하고, 그 결과로 한 원소씩 만든다.
비슷한 두 문제도 공통 조건과 달라진 조건을 나누어 적었다. 이 구분을 하자 일반적인 값에서 성립해 보였던 방식이 모든 경우에 적용되는 것은 아니라는 점이 분명해졌다.
수정한 답만 남기지 않고 처음의 오해까지 대조하기
도움 직전 기록과 혼자 시작한 첫 줄 사이에는 빈칸이 없었다. 두 행렬의 크기, 선택한 행과 열, 결과 원소가 차례로 남아 있어 처음 식과 수정한 식을 비교할 수 있었다.
앞서 역검산에서는 수정한 답만 보존해 처음의 오해를 다시 대조할 자료가 사라졌지만, 이번에는 원래 계산의 흔적과 교정된 결과 원소를 함께 남겼다. 이 학습 기록에서 중요한 변화도 정답 자체보다 이 비교 기준을 보존한 데 있었다.
크기가 달라진 행렬에서 먼저 적은 것
조건이 달라진 문제에서는 학생이 결과 행렬의 크기와 곱셈 가능 여부부터 적었다. 이후 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 표시하고, 마지막 답을 쓰기 전 원래 조건에 되돌려 넣는 순서를 유지했다.
같은 문제를 다시 반복한 것이 아니라 행렬의 크기가 달라진 상황에서 먼저 가능 여부를 따지고, 결과의 크기를 정한 다음 원소를 계산한 것이다. 녹음 없는 구두 설명에서도 학생은 “행과 열을 먼저 보고, 그다음 한 원소씩 계산한다”고 설명했다. 설명에 나선 기준이 다른 자료에서도 이어졌는지는 이 순서가 실제 풀이 첫 줄에 남았는지로 살필 수 있다.
일반값과 경계값을 함께 남기는 다음 기준
대표값에서 맞았다는 사실만으로는 행렬 곱셈의 적용 범위를 판단할 수 없다. 경계값에서 결론이 깨진 이유는 성분별 곱셈을 행과 열의 만남으로 바꾸어 보지 않았기 때문이다.
다음 풀이에서는 행렬 곱셈 전에 앞 행과 뒤 열을 표시한다. 풀이가 끝난 뒤에는 가장 큰 전환 하나를 소리 내어 확인한다. 이 학습 기록 기록에서 이어서 볼 기준도 바로 이 두 흔적이다.