둔촌동 수학과외, ‘길이비를 넓이에 그대로 적용한 식’에서 필요한 비를 다시 구분한 과정
길이에서 구한 비가 넓이 계산에도 그대로 들어간 첫 식
자기평가에서는 이미 알고 있다고 표시한 부분이었지만 실제 식에서는 다른 행동이 나타났다. 그래서 알고 있다는 설명보다 종이에 남은 비례식의 순서를 우선해 읽었다. 어느 양을 비교하는지 표시하지 않은 상태에서 비를 적용하면 익숙한 문제에서는 맞더라도 조건이 조금 바뀌었을 때 같은 오류가 다시 나타날 수 있었다.
‘닮음비는 모두 같다’는 판단과 실제로 빠져 있던 차원의 구분
처음에는 닮은 도형에서 얻은 비라면 길이와 넓이 등 모든 양에 같은 값으로 적용된다고 판단했다. 하나의 닮음비를 구한 뒤 그 값을 그대로 다른 양의 비교에도 사용한 것이다. 이것이 처음 사용한 잘못된 기준이었다.
하지만 원래 비례식을 다시 살펴보니 실제 원인은 그보다 더 구체적이었다. 비교하려는 양이 몇 차원의 양인지 표시하지 않은 채 식을 세우고 있었다. 처음에는 ‘닮음비 하나면 충분하다’고 생각했지만, 실제 기록에는 현재 다루는 값이 길이인지 넓이인지 구분한 흔적이 없었다. 결과만 다시 계산하면 같은 원인을 찾기 어려웠던 이유도, 잘못된 계산보다 앞선 이 분류 단계가 빠져 있었기 때문이다.
길이·넓이·부피를 나누어 두고 지수 관계를 본 뒤 새 그림에서 다시 선택했다
교정에서는 비례식을 바로 고쳐 주지 않았다. 길이·넓이·부피를 서로 다른 칸에 두고, 각 양에서 닮음비가 어떤 지수 관계로 연결되는지를 먼저 확인하게 했다. 현재 문제에서 구하려는 양이 어느 칸에 들어가는지를 정한 뒤 필요한 비를 선택하도록 했다. 같은 날 같은 문제를 반복하지 않고 형식을 바꾼 다음 문제를 따로 두어, 방금 본 풀이를 기억한 것과 기준을 이해한 것을 구분했다.
독립 재적용에서는 그림의 방향과 기호를 바꾼 문제를 사용했다. 새로운 배치에서도 길이비와 넓이비를 구분하고 현재 필요한 비를 스스로 고르는지를 다시 살폈다. 이 순서가 유지되면 복습 간격을 늘리고, 중간에서 막히면 전 과정을 다시 설명하지 않고 도움을 받았던 지점부터 줄여 나갔다. 조건이 달라져도 먼저 양의 종류를 구분한 뒤 비를 선택해야 독립 적용으로 보았다.
다음 점검에서는 속도보다 길이비와 넓이비의 구분을 먼저 본다
둔촌동의 학교와 생활권 정보는 수학 오류의 원인으로 연결하지 않는다. 서울둔촌초등학교의 내신 범위표가 확인된 경우에는 교과서 예제·학교 프린트·오답의 순서를 학생 기록에 맞춰 조정한다는 범위에서만 학습 계획과 연결한다.
다음 점검의 완료 기준은 풀이 속도가 아니라 ‘길이비와 넓이비를 구분해 필요한 비를 선택하는지’를 지켰는가이다. 교사의 첫 질문 없이도 이 구분이 첫 단계에서 나오면 완료 기준을 충족한 것으로 본다. 둔촌동 학생의 다음 답안에서도 정답을 맞혔는지보다 그림과 조건이 달라진 뒤에도 필요한 비를 스스로 선택했는지를 우선해서 살핀다.