부천 수학과외, 약분 뒤 사라진 제외값을 끝까지 남긴 유리식 풀이
맞고 틀린 결과보다 먼저 눈에 들어온 것은 ‘공통인수를 지운 뒤 제외값을 남기지 않은 식’이었다. 첫 풀이와 다시 푼 풀이를 나란히 놓고, 오류가 시작된 줄과 학생이 알아차린 줄 사이의 간격을 확인했다.
공통인수를 지운 뒤 조건이 사라진 풀이 흔적
학생은 약분으로 사라진 인수는 조건에서도 없어졌다고 판단했다. 그래서 원래 식의 정의역을 먼저 기록하지 않은 채 변형된 식의 결과만 계산했다. 도움을 받은 부분과 혼자 결정한 부분도 한 기록 안에 섞여 있었다.
결과 계산만으로는 찾기 어려웠던 실제 원인
풀이 기록에서 확인된 원인은 약분 전 분모가 0이 되는 값을 먼저 적지 않은 것이었다. 변형된 식만 다시 계산하면 공통인수를 지운 뒤 제외값을 남기지 않은 이유가 드러나지 않았다.
약분 전 제외값을 식 옆에 고정한 변화
학생은 약분 전 제외값을 식 옆에 고정하고, 변형된 식과 함께 풀이 끝까지 유지했다. 이제 약분으로 인수가 사라져도 원래 식에서 제외한 값은 별도의 조건으로 남겨 두었다.
약분한 인수와 원래 식에서 제외한 값은 끝까지 따로 확인한다.
조건이 달라진 뒤에도 이어진 독립 판단
조건이 변경된 풀이에서는 첫 질문 없이 시작해 ‘약분 전에 분모가 0이 되는 값을 제외하는지’를 먼저 확인했다. 원래 풀이를 기억해 낸 것뿐인 기록은 성공으로 보지 않고, 바뀐 조건에서 같은 판단 기준을 스스로 다시 사용한 경우만 남겼다.
부천 수학과외의 기록에서 중요한 변화는 풀이 속도가 아니었다. 새 교재에서도 학생이 약분 전 분모가 0이 되는 값을 제외해야 하는 근거를 자신의 문장으로 설명하는지가 다음 기준이 되었다. 다음 문제에서도 먼저 확인할 것은 ‘약분 전에 분모가 0이 되는 값을 제외했는가’이다.