우이동 수학과외, ‘길이비를 넓이에 그대로 적용한 식’에서 필요한 비를 다시 구분한 과정
비례식은 적혀 있었지만 어떤 양의 비인지 구분되지 않았다
자기평가에서는 알고 있다고 표시한 부분이었지만 실제 답안에서는 다른 선택이 나타났다. 따라서 한 문제를 맞혔는지보다 새로운 표현에서도 길이비와 넓이비를 구분해 적용할 수 있는지를 따로 볼 필요가 있었다.
‘닮음비는 모든 양에 같다’는 판단과 실제로 빠져 있던 차원의 표시
처음에는 닮은 도형에서 얻은 비라면 길이와 넓이 등 모든 양에 같은 값으로 적용된다고 판단했다. 하나의 닮음비를 구한 뒤 어떤 양을 다루는지 따로 구분하지 않고 비례식에 그대로 넣은 것이다. 이것이 처음 사용한 잘못된 기준이었다.
하지만 원래 과정을 다시 따라가자 실제 원인은 더 구체적으로 드러났다. 현재 비교하려는 값이 몇 차원의 양인지 표시하지 않은 채 비례식을 세우고 있었다. 처음에는 ‘닮음비 하나면 모두 적용된다’고 생각했지만, 실제 기록에는 지금 다루는 것이 길이인지 넓이인지 분류한 흔적 자체가 없었다. 정답을 고친 날과 도움 없이 같은 기준을 다시 적용한 날을 분리해야 했던 이유도 이 차이에 있었다.
길이·넓이·부피를 나누어 두고 지수 관계를 확인한 뒤 평상시 과제에 다시 적용했다
교정에서는 완성된 비례식을 바로 보여 주지 않았다. 길이·넓이·부피를 서로 다른 칸에 두고, 각 양이 닮음비와 어떤 지수 관계로 연결되는지를 먼저 확인하게 했다. 그다음 현재 문제에서 구하려는 양이 어느 칸에 해당하는지 정한 뒤 필요한 비를 고르게 했다. 이후 같은 유형에서 사용할 질문도 완성된 해설 대신 학생 자신의 문장으로 남겼다.
독립 재적용은 시험 직전이 아닌 평상시 과제에서 살폈다. 새로운 문제에서도 길이비와 넓이비를 구분해 필요한 비를 선택하는지가 기준이었다. 이전 답안의 비례식을 기억해 재현한 것에 불과하면 성공 기록에서 제외했다. 조건과 표현이 달라져도 먼저 양의 종류를 구분하고 그에 맞는 비를 고르는 순서가 스스로 나타나야 독립 적용으로 보았다.
다음 점검에는 필요한 비를 구분한 결과와 사용한 힌트만 남긴다
우이동 주소에서는 고등학교가 확인되지 않으므로 같은 강북구 내 학교 자료는 통학권 참고 범위로만 다룬다. 서라벌중학교의 지필 일정과 다른 과목 마감이 겹치는 경우에는 수학에서 새 진도를 늘리기보다 누적된 오류가 다시 나타나는지를 먼저 본다는 범위에서만 계획과 연결한다.
다음 점검에서는 확인표에 ‘길이비와 넓이비를 구분해 필요한 비를 선택하는지’의 결과와 사용한 힌트만 간단히 남긴다. 정답 수보다 첫 줄에서 어떤 양을 구하는지 스스로 분류하고 필요한 비를 선택했는지가 더 중요한 완료 기준이다. 우이동 학생의 다음 답안에서도 비례식을 얼마나 빨리 세웠는지보다 이 첫 판단이 혼자 남았는지를 우선해서 본다.