일직동 수학과외, 두 분자를 곱하고도 어느 양의 일부인지 적지 않은 풀이
두 분자를 곱했지만 기준량이 보이지 않은 기록
학생은 분수 곱셈에서 두 분자를 곱했지만, 그 양이 어느 전체의 일부인지 적지 않았다. 익숙한 형식에서는 드러나지 않던 풀이 흔적이 조건이 바뀌자 그대로 나타났다.
곱셈은 항상 양을 크게 만든다는 첫 판단
처음 학생이 사용한 기준은 곱셈은 항상 양을 크게 만든다는 판단이었다. 그러나 풀이 기록을 나누어 보니 문제는 풀이법 전체가 아니라, 기준이 되는 전체량과 취한 비율을 구분하지 않은 작은 판단에 있었다.
색이 다른 막대로 전체량과 비율을 나눈 장면
학생은 전체량과 두 번의 비율을 색이 다른 막대로 나누어 표시했다. 같은 날 같은 형식을 반복하지 않고 문제 형식을 바꾸어 다음 확인 기록을 남겼다. 이 과정에서 일직동 수학과외에서 확인한 변화는 계산 결과보다 어떤 양을 기준으로 삼았는지를 표시하는 행동에 있었다.
조건이 달라진 문항에서 혼자 남긴 확인
다른 단원 과제 사이에 한 문항을 끼워 넣고, 학생이 ‘전체의 일부를 다시 취한다는 뜻을 식과 그림으로 함께 나타내는지’를 확인했다. 풀이 순서가 유지된 경우에만 다음 단원의 연결 문제를 추가하는 방식으로, 바뀐 조건에서도 같은 판단 기준을 혼자 다시 사용한 장면을 남겼다.
새 교재에서 이어질 최소 점검
다음에는 새 교재에서 ‘전체의 일부를 다시 취한다는 뜻을 식과 그림으로 함께 나타내는지’를 확인한다. 마지막에 남은 기준은 수치와 도형이 달라져도 전체량과 취한 비율을 구분해 식과 그림에 함께 표시하는 것이다.