호계동 수학과외, 두 분자를 곱하고도 어느 양의 일부인지 적지 않은 풀이
시험지를 돌려받은 날, 지운 식과 남긴 식을 구분하자 ‘두 분자를 곱했지만 어느 양의 일부인지 적지 않은 풀이’가 먼저 보였다. 정답보다 분수 곱셈에서 어떤 양을 기준으로 삼았는지가 드러나지 않은 기록이었다.
두 분자를 곱한 식에 빠진 기준
처음 학생은 곱셈은 항상 양을 크게 만든다고 판단했다. 풀이 기록에는 사용한 힌트의 종류와 크기도 함께 남아 있었지만, 도움을 받은 부분과 혼자 결정한 부분이 섞여 있었다. 따라서 단순히 식을 적었는지만으로는 처음 판단의 기준을 분명히 보기 어려웠다.
전체량과 취한 비율을 나누어 본 장면
기록에서 확인된 실제 원인은 기준이 되는 전체량과 취한 비율을 구분하지 않은 것이었다. 그래서 개념 설명을 더하는 일보다, 처음 식을 왜 선택했는지 그 근거를 밖으로 꺼내는 일이 먼저 필요했다.
학생은 전체량과 두 번의 비율을 색이 다른 막대로 나누어 표시했다. 새 풀이에는 처음 식을 선택한 근거도 짧게 덧붙였다. 호계동 수학과외에서 확인할 변화는 식을 맞혔는지만이 아니라, 식의 기준을 표시하고 선택 이유를 남겼는지에 있었다.
전체량과 취한 비율을 구분한 뒤 식을 선택한다.
다른 조건에서 혼자 다시 적용한 기준
다른 단원 과제 사이에 한 문항을 끼워 넣고, 전체의 일부를 다시 취한다는 뜻을 식과 그림으로 함께 나타내는지를 확인했다. 원래 풀이를 기억해 낸 것뿐인 경우는 성공 기록에서 제외했다. 조건이 달라진 자리에서도 학생이 같은 판단 기준을 혼자 다시 사용했는지가 핵심이었다.
다음 풀이의 첫 줄에서 확인할 것
다음에는 조건이 바뀐 뒤에도 전체의 일부를 다시 취한다는 뜻을 식과 그림으로 함께 나타내는지가 점검 기준이 된다. 이 표현이 가능할 때에만 새 단원으로 범위를 넓힌다. 마지막에 남는 변화는 맞힌 답이 아니라 풀이 첫 줄을 학생 스스로 정하는 기준이다.