별내동 수학과외, 조건이 바뀐 뒤 분모와 분자를 다시 센 확률 풀이
시험지를 돌려받은 날, 지운 식과 남긴 식을 구분하자 ‘원래 전체 경우를 분모에 그대로 둔 확률식’이 먼저 보였다. 별내동 수학과외에서 확인한 핵심은 정답보다 이 식이 어떤 판단에서 시작되었는지였다.
분자에만 조건을 더한 첫 판단
학생은 조건은 분자에만 추가하면 된다고 생각했다. 그래서 조건이 주어진 뒤에도 전체 경우를 그대로 둔 채, 조건을 만족하는 경우만 분자에 반영했다. 한 문항의 결과에 그치지 않고 다음 문제에서도 반복될 가능성이 있는 기준이었다.
표본공간을 새로 표시하지 않은 원인
풀이 기록을 따라가면 실제 원인은 시간 압박보다 조건 이후의 표본공간을 새로 표시하지 않았다는 데 있었다. 조건이 생긴 뒤 전체 경우가 어떻게 줄어드는지 확인하는 순서가 풀이에 남아 있지 않았고, 그 결과 분모가 처음 상태에 머물렀다.
조건이 생기면 남은 경우를 먼저 정하고, 그 안에서 분모와 분자를 다시 센다.
남은 경우의 목록으로 분모와 분자를 다시 세기
학생은 조건을 만족하는 경우만 남긴 목록을 만든 뒤 분모와 분자를 다시 세었다. 기존 확률식에 조건을 덧붙이는 데서 멈추지 않고, 조건 뒤에 남은 경우를 기준으로 두 수를 다시 확인하는 행동으로 풀이 기록을 바꾸었다. 이 장면에서 이 학습 기록의 초점은 새로운 풀이법을 더하는 것이 아니라, 표본공간을 다시 정하는 한 가지 행동에 맞춰졌다.
다른 조건에서도 혼자 시작한 확인
다른 단원 과제 사이에 한 문항을 끼워 넣어 조건이 주어진 뒤 전체 경우가 어떻게 줄어드는지 다시 정하는지를 확인했다. 학생은 조건을 읽은 뒤 남은 경우를 먼저 정하고, 그 기준으로 분모와 분자를 세는 과정을 혼자 시작했다. 다음 문제에서 다시 사용할 수 있는 판단 기준은 조건 뒤의 전체 경우부터 확인하는 것이었다.