영등포 수학과외, 안쪽 미분이 빠진 첫 식에서 합성함수의 층을 다시 구분한 과정
그림 방향을 바꾸자 첫 줄에서 빠진 안쪽 미분
수치와 그림 방향만 달리한 문제를 제시했을 때 답안 첫 부분에 ‘바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 빠뜨린 식’이 남았다. 처음 표시한 부분과 고친 표시 사이를 따로 비교해 보니, 계산을 끝까지 못 한 것이 아니라 첫 식을 세우는 순간부터 합성함수를 한 층의 함수처럼 다룬 흔적이 드러났다. 영등포 수학과외에서는 이 장면을 한 문항의 실수로 정리하지 않고, 다음 문제에서도 같은 선택이 반복되는지를 볼 수 있는 판단 근거로 삼았다.
합성함수의 미분에서는 바깥함수와 안쪽함수를 구분한 뒤 연쇄적으로 미분하는 과정이 필요하다. 그런데 수정 전 답안에는 바깥쪽 형태를 미분한 흔적만 있고, 그 안에 들어 있는 식을 다시 미분해야 한다는 연결이 남아 있지 않았다. 답을 고친 뒤의 결과보다 처음 어떤 구조로 함수를 읽었는지가 더 중요한 이유가 여기에 있었다.
지수만 내리면 된다는 생각과 표시되지 않은 함수의 층
처음 사용한 기준은 겉으로 보이는 지수만 내리면 미분이 끝난다는 것이었다. 이 기준만 따르면 바깥함수의 변화는 처리할 수 있지만 안쪽 식의 변화까지 이어 가지 못한다. 그래서 한 문제의 정답을 고쳤다는 사실만으로는 판단이 수정되었다고 보기 어려웠다.
실제 원인은 단순히 연쇄법칙을 잊었다는 데 있지 않았다. 작성한 식을 다시 보니 함수의 층을 구분하는 표시 없이 곧바로 공식을 적용하고 있었다. 처음에는 겉모양만 보고 미분을 끝냈지만, 실제 산출물에는 무엇이 바깥함수이고 무엇이 안쪽함수인지 나눠 둔 흔적 자체가 없었던 것이다. 정답을 수정한 날과 도움 없이 같은 구조를 다시 찾아낸 날을 구분해서 봐야 했던 이유도 이 차이 때문이었다.
안쪽 식에 상자를 친 뒤 두 미분을 화살표로 연결했다
교정할 때는 완성된 식을 다시 써 주지 않았다. 먼저 안쪽 식을 찾아 상자로 표시하고, 바깥함수를 미분한 부분과 안쪽함수를 미분한 부분을 서로 다른 색의 화살표로 이어 보게 했다. 어느 단계에서 무엇을 미분하고 있는지가 눈에 남도록 한 뒤, 스스로 시작한 구간과 힌트를 받은 구간을 분리했다. 도움도 한꺼번에 주지 않고 한 단계씩 늦춰서, 실제로 어디까지 혼자 진행할 수 있는지를 구별했다.
독립 적용을 볼 때에는 해설을 가린 상태에서 조건이 달라진 문제의 첫 줄부터 쓰게 했다. 이때도 바깥함수와 안쪽함수를 스스로 구분하고 연쇄적으로 미분하는지가 기준이었다. 도움 없이 같은 순서를 이어 가면 복습 간격을 넓히고, 중간에서 막히면 처음부터 다시 시작하지 않고 도움을 받은 지점부터 범위를 좁혀 살폈다. 같은 답을 외워 재현하는 것이 아니라 달라진 조건에서도 함수의 층을 먼저 나누는지를 본 것이다.
새 조건에서도 두 층을 나누면 다음 범위로 넘어간다
영등포는 당산동·문래동·신길동·양평동·여의동 등 여러 생활권을 포함하므로 학교와 주거지의 관계를 하나의 통학 조건으로 일반화하기 어렵다. 대표 학교 자료 역시 지역 범위를 보여 주는 참고로 두며, 영등포여자고등학교의 서술형 대비처럼 학교 일정과 연결할 때에는 조건·식·결론을 나누어 짧게 반복하는 방식만 활용한다.
다음 점검에서 남길 완료 기준은 분명하다. 조건이 바뀐 뒤에도 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분할 수 있으면 새 단원으로 범위를 넓힌다. 처음에는 안쪽 미분에서 멈췄지만, 이후에는 달라진 문제의 첫 줄에서도 두 층을 나누어 다시 시작할 수 있는지가 이번 기록의 마무리 기준이다.