가좌동 중등수학과외, 유한소수 판별에서 분모를 다시 본 이유
중2 수학 기록에서 눈에 먼저 들어온 것은 정답보다 표의 한 줄이었다. 학생은 약분 전·후 분모의 소인수를 나란히 적고, 그 옆에 일부러 헷갈리기 쉬운 사례를 하나 더 넣어 두었다. 기존 답안에는 계산 결과만 표시되어 있었지만, 새 표에는 같은 분수를 약분하기 전과 후로 나누어 살핀 흔적이 남아 있었다.
그 사례는 18/30이었다. 약분 전 분모 30에는 2, 3, 5가 보였고, 약분하면 3/5가 되어 분모의 3이 사라진다. 학생은 처음에는 분모에 2나 5가 하나라도 있으면 유한소수라고 판단했다. 그래서 약분 전 분모만 보고 결론을 내린 답안에는 유한소수라는 표시가 붙어 있었다.
30에서 보인 소인수와 5에서 남은 소인수
표를 다시 작성하면서 계산 자체가 틀린 것은 아니었다. 18/30을 3/5로 약분한 과정도 맞았고, 30의 소인수를 적은 방식도 맞았다. 다만 학생은 기록 순서를 그대로 판단 순서로 사용했다. 약분 전 분모를 먼저 확인하고, 그 안에 2 또는 5가 있는지를 기준으로 결론을 냈다.
여기서 계산 절차와 판정 조건이 갈라졌다. 유한소수인지 판단할 때 살펴볼 대상은 약분 전 분모가 아니라 기약분수의 분모다. 기약분수의 분모가 2와 5만을 소인수로 가질 때 유한소수가 된다. 18/30은 3/5로 정리된 뒤 이 조건을 만족하므로 유한소수이고, 약분 전 분모에 3이 있었다는 사실만으로 반복소수가 되는 것은 아니다.
반대로 9/70처럼 기약분수의 분모에 2, 5와 함께 7이 남아 있으면 분모에 2나 5가 포함되어 있어도 유한소수라고 할 수 없다. 학생은 두 사례를 같은 표에 놓고, 한 칸에는 “계산 가능 여부”, 다른 칸에는 “유한소수 조건 성립 여부”를 적었다. 계산할 수 있는지와 판정 조건을 만족하는지는 별개의 질문이었다.
답안 옆에 생긴 세 칸
이후 표의 분모 인수 옆에는 성립 / 불성립 / 이유라는 세 칸이 추가됐다. 학생은 연산을 시작하기 전에 이번 문제에서 사용할 기준과 사용하지 않을 기준을 구분했다. 먼저 분수를 기약분수로 만든 다음, 분모에 2와 5 이외의 소인수가 남았는지를 확인하는 순서였다.
18/30의 경우에는 “성립 — 3/5의 분모가 5뿐”이라고 기록했고, 9/70에는 “불성립 — 7이 남음”이라고 적었다. 표준적인 예와 약분 전에는 다른 소인수가 보이지만 약분 후 사라지는 예외를 함께 통과시킨 뒤에야 기준을 넓혀 사용했다.
문장 순서가 바뀐 새 문항
다음에는 표를 그대로 따라가는 문제가 주어지지 않았다. 유한소수 판별에 필요한 조건이 문장 뒤쪽에 배치되고, 계산하라는 지시와 판정하라는 지시의 순서도 뒤섞인 문항이었다. 학생은 문장을 읽은 뒤 바로 약분을 시작하지 않고, 먼저 어떤 상태의 분모를 확인해야 하는지 표시했다.
약분 전·후 인수표를 걷어 낀 상태에서도 학생은 분수를 기약분수로 정리한 뒤 분모를 따로 확인했다. 마지막에는 3/5를 실제로 나누어 0.6에서 자릿수가 끝나는지 확인했다. 교사가 옆에서 표의 어느 칸을 보라고 말하지 않은 상황에서 같은 판단 순서가 다시 나타났다.
다음 문제에서 볼 첫 표시
다음에는 표 대신 소인수분해식이나 문장형 조건이 제시될 예정이다. 그때도 학생이 계산 결과에 끌려가기 전에 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 표시하는지 본다. 마지막 줄에는 실제 나눗셈을 적어, 소수 자릿수가 끝나는지 확인하는 흔적이 남아야 한다.