산본동 중등수학과외, 경우의 수의 합의 법칙과 곱의 법칙을 구분한 선택 단계 트리
중2 경우의 수 문제를 풀던 학생의 답안에는 선택 단계 트리와 함께 일부러 틀리기 쉬운 사례 하나가 추가되어 있었다. 처음에는 트리의 가지 수를 세어 계산하는 방식이었지만, 한 항목 옆에 적힌 계산은 문제의 조건과 맞지 않았다. 선택 과정의 모양을 따라가며 답을 정한 흔적이 표와 메모에 그대로 남아 있었다.
학생이 처음 적어 둔 판단은 간단했다. 선택지가 많아 보이면 모두 곱하고, 선택지가 적어 보이면 더하는 식이었다. 그러나 경우의 수에서는 선택지의 개수나 겉모양이 계산법을 결정하지 않는다. 어떤 선택이 서로 겹치지 않는지, 여러 단계를 연속해서 모두 거치는지를 먼저 확인해야 한다.
‘또는’과 ‘그리고’를 섞었을 때 드러난 빈틈
확인용 문제는 두 단계 선택 상황으로 바꾸었다. 한 단계에는 ‘A 또는 B’를 고르는 경우를 넣고, 다른 단계에는 ‘첫 번째 선택을 한 뒤 두 번째 선택도 모두 해야 하는’ 상황을 넣었다. 익숙한 트리 모양은 유지하되, 합의 법칙과 곱의 법칙이 각각 필요한 조건을 반대로 배치했다.
그 뒤 조건을 하나씩 지워 보게 했다. 특정 선택을 하지 않아도 다음 단계로 갈 수 있는지, 두 선택이 동시에 일어나야 하는지 표시하자 계산 결과가 달라지는 항목이 나타났다. 선택지가 많아서 곱한 것이 아니라 연속된 두 선택을 모두 해야 했기 때문에 곱해야 했고, 서로 배타적인 경로를 나눈 경우에는 각 경우를 합해야 했다.
이 장면에서 드러난 원인은 법칙을 전혀 몰랐기 때문이 아니었다. 학생은 합의 법칙과 곱의 법칙에 관한 설명을 말로는 알고 있었다. 다만 정답인지 아닌지를 먼저 확인하려고 하면서 트리의 가지 모양만 읽었고, 답안에는 어떤 조건을 적용했는지 남기지 않았다. 계산보다 앞선 판단이 비어 있었던 셈이다.
계산 전에 남긴 한 줄의 근거
풀이 순서를 바꾸어 계산을 시작하기 전에 적용 조건을 말하게 했다. 서로 배타적인 선택이면 더하고, 연속해서 모두 해야 하는 단계라면 곱한다고 먼저 적었다. 여기에 해당하지 않는 사례도 함께 확인했다. 두 경우가 겹치거나 다음 단계가 모든 선택 뒤에 이어지지 않는다면 같은 방식으로 처리할 수 없다는 점까지 구분했다.
답안의 선택 단계 트리 옆에는 작은 ‘풀이 근거’ 칸을 만들고, 그 안에 이 규칙을 써도 되는가라는 체크칸을 두었다. 학생은 가지를 그린 뒤 바로 숫자를 곱하거나 더하지 않고, 서로 배타적인지 또는 연속 선택인지 표시했다. 계산식보다 먼저 조건을 남기는 형식이었다.
표기가 바뀌어도 먼저 가른 조건
다음 문제에서는 익숙한 표기나 같은 모양의 트리를 제공하지 않았다. 합의 법칙과 곱의 법칙 중 정답 계산식의 형태는 비슷하게 보이지만, 성립 조건 하나가 앞 문제와 반대로 놓인 사례였다. 문제에 불필요한 정보도 섞어 선택 기준을 흐리게 했다.
학생은 숫자와 표의 위치를 먼저 따라가지 않고, 두 경로가 서로 겹치는지부터 확인했다. 이어 한 경로를 선택한 뒤 다른 단계가 반드시 이어지는지 살폈다. 조건을 가른 뒤에는 풀이를 닫기 전에 간단한 경우를 직접 나열했다. 나열한 경우의 개수와 계산값이 같은지 확인하고, 맞지 않으면 트리의 연결이나 계산법을 다시 찾았다.
마지막 기록에는 처음처럼 ‘많으니 곱하기’ 또는 ‘적으니 더하기’라는 문장이 없었다. 대신 각 경로 옆에 배타 여부와 연속 여부가 표시되어 있었다. 산본동 중등수학과외에서 이 학생의 다음 문제를 볼 때도 새 자료 속 불필요한 정보를 먼저 걷어내기보다, 성립 조건과 예외의 경계를 가르는 첫 표시가 나타나는지를 살피게 된다.