풍무동 중등수학과외, 인수분해와 영인수분해 원리를 반례와 맞춰 본 기록
중3 학생의 풀이에서 가장 먼저 눈에 들어온 것은 정답이 아니라 두 인수=0 분기표였다. 표 한쪽에는 성립 사례, 다른 쪽에는 성립하지 않는 사례가 나뉘어 있었고, 각 일차식을 어떻게 처리했는지가 적혀 있었다. 그런데 표의 첫 판단에는 “곱이 0이면 두 인수가 동시에 0이어야 한다”는 문장이 붙어 있었다.
이 기준을 따르면 (x-2)(x+3)=0에서는 두 인수가 모두 0이 될 수 없으므로 해가 없다고 판단하게 된다. 실제로 학생도 두 식을 동시에 만족해야 한다고 보고 계산을 멈췄다. 인수분해한 식을 보고도 각 인수에서 나오는 가능한 근을 따로 살피지 않은 것이다.
분기표 옆에 놓인 완전제곱식
같은 풀이를 여러 번 반복하게 하지 않고, 처음 기준이 흔들리는 대조 사례를 제시했다. 이번에는 한 인수가 중복되는 완전제곱식으로 바꾸고 답은 가린 채, 두 사례의 판정 근거만 따로 적게 했다.
학생은 두 표를 번갈아 보며 “한 인수가 0이 되는 경우도 곱은 0이 된다”고 적었다. 이어 완전제곱식에서는 같은 일차식이 반복되어 같은 근이 두 번 나타날 수 있지만, 두 인수가 서로 다른 식일 때는 각각에서 나오는 근을 따로 확인해야 한다는 점을 표시했다. 문제의 모양을 외워 처리하는 대신, 곱의 값이 0이 되는 조건을 사례별로 대조한 장면이었다.
공식 이름보다 먼저 적은 판단 근거
오답을 다시 계산하기 전에 학생은 판단 근거부터 바꾸었다. 실수의 곱이 0이면 적어도 한 인수가 0이므로, 두 인수를 동시에 0으로 놓지 않고 각 일차식을 따로 풀어 가능한 근을 구한다는 기준을 먼저 기록했다.
예를 들어 (x-2)(x+3)=0에서는 x-2=0 또는 x+3=0으로 나누어 x=2, x=-3을 얻는다. 완전제곱식의 경우에도 같은 인수가 반복된다는 형태만 보고 새로운 조건을 덧붙이지 않고, 해당 인수가 0이 되는 값을 확인하도록 했다. 표의 판단 지점에는 조건 번호만 짧게 적었다. 긴 설명 대신 어느 조건을 적용했는지 표시하는 방식으로 기록이 바뀐 것이다.
성립 조건을 뒤집은 변형 문제
다음 문제에서는 정답의 형태가 비슷하지만 성립 조건 하나를 반대로 두었다. 인수분해와 영인수분해 원리를 사용해야 하는 문제였지만, 앞에서 본 식과 같은 숫자를 단순히 바꾼 문제가 아니었다.
학생은 이번에는 식을 보자마자 답부터 쓰지 않았다. 먼저 두 인수가 0이 되는 경우를 나누고, 각각의 일차식을 푼 뒤 오답 후보 하나를 남겨 두었다. 어느 후보가 실제 해인지 혼자 가르기 위해 구한 근을 원래 이차식에 각각 대입했다. 한 값을 넣었을 때는 식이 0이 되었고, 다른 후보도 대입 결과가 0이 되어 두 값을 답으로 확정했다.
표에는 조건 번호가 그대로 남아 있었고, 아래에는 대입 계산이 이어졌다. 인수분해된 식에서 얻은 후보와 원래 식이 실제로 맞는지는 별도의 확인 절차로 분리되어 있었다.
다음 문제에서 먼저 볼 장면
이후 새 문제를 처음 제시했을 때 학생이 바로 답을 적는지보다, 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지를 관찰하기로 했다. 답을 확정하기 전에는 구한 근을 원래 이차식에 각각 대입해 0이 되는지 확인하는 행동이 먼저 나타나야 한다.