금정동 중등수학과외, 여사건을 이용한 확률에서 다른 형식에도 이어진 판단
중2 확률 문제를 보던 중, 학생의 풀이에서 정답보다 먼저 눈에 들어온 흔적이 있었다. ‘전체-제외 사건’ 도식에서 정답 부분만 가리고, 사건의 정의에 필요한 정보만 남겨 둔 자료였다. 남은 그림에는 전체 경우와 제외되는 경우의 위치, 그리고 조건과 맞지 않을 수 있는 경계 사례가 표시되어 있었다.
처음 학생은 원하는 사건을 세기 어렵다고 판단하면 직접 모든 경우를 세려고 했다. 경우를 하나씩 적어 확인하는 방식 자체가 틀린 것은 아니지만, 반복 시행이나 경우의 수가 커지는 문제에서도 같은 기준을 적용하려 했다. 그래서 풀이의 첫 줄에는 조건 확인보다 나열 계산이 먼저 나타났다.
‘적어도 하나’가 들어오자 계산보다 먼저 흔들린 기준
이 판단이 언제 깨지는지 보기 위해 같은 기준을 그대로 둔 채, ‘적어도 하나’라는 조건이 포함된 반복 시행 문제로 바꾸었다. 학생은 여전히 원하는 사건을 직접 세려고 했고, 가능한 결과를 적기 시작했다. 그러나 시행 횟수가 늘어나자 사건의 범위를 빠짐없이 정리하기 어려워졌다. 이 장면에서는 계산을 틀렸는지보다, 애초에 어떤 사건을 세고 있는지가 먼저 표시되었다.
반례를 확인한 뒤 학생이 적은 첫 문장은 “계산할 수 있으면 직접 센다”였다. 하지만 여사건을 이용하는 문제에서는 계산 절차가 가능하더라도 그 방식이 현재 사건의 조건에 맞는지 먼저 살펴야 했다. 처음의 문제는 계산 능력 부족이 아니라, 계산 절차를 성립 조건보다 앞세운 데서 생긴 오판이었다.
가려 둔 정답 자리에서 추가된 한 칸
도식의 정답을 다시 보여 주지 않고, 정의 부분에 한 칸을 덧붙였다. 그 칸에는 “반대 사건이 무엇인지, 전체 사건에서 정확히 제외되는지 확인”이라고 적었다. 여사건을 이용할 수 있는 경우에는 전체 확률 1에서 반대 사건의 확률을 빼 원하는 사건의 확률을 구한다. 다만 조건을 충족하지 않는 사례까지 반대 사건으로 묶을 수 있는지는 별도로 확인해야 한다.
학생은 도식의 바깥 경계에 해당하는 사례를 별표로 표시했다. 예를 들어 ‘적어도 하나’의 반대 사건이 ‘하나도 일어나지 않음’으로 정확히 정리되는지 살피고, 조건에서 빠지는 결과가 없는지 따로 적었다. 정답을 맞히는 계산보다 판단 근거를 남기는 쪽으로 기록의 순서가 바뀌었다.
같은 답을 만드는 두 경로, 먼저 선택한 쪽
새 문항에서는 여사건을 이용한 풀이와 직접 경우를 나열하는 풀이가 모두 같은 답에 이를 수 있도록 구성했다. 이번에는 학생이 계산부터 시작하지 않고, “반대 사건을 한 문장으로 정리할 수 있는가”를 먼저 적었다. 이어 조건을 만족하지 않는 사례가 여사건에 빠짐없이 포함되는지 확인한 뒤 풀이 경로를 골랐다.
답을 확정하기 전에는 규모가 작은 예를 직접 나열했다. 나열한 결과와 여사건 계산 결과를 나란히 놓고 비교했으며, 두 값이 일치하는지 확인한 뒤 최종 답을 표시했다. 숫자를 바꾼 반복 문제가 아니라, 서로 다른 풀이 경로 중 조건에 맞는 방법을 선택해야 하는 상황에서 같은 기록 장치가 다시 나타났다.
다음에는 그림 대신 다른 형식으로
다음 점검에서는 여사건 문제를 표나 문장 중심의 다른 형식으로 제시한다. 학생이 도식이 없어도 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지 본다. 마지막에는 직접 나열한 소규모 예와 여사건 계산 결과를 대조해 일치 여부를 확인한다.