성남 중등수학과외에서 각의 이등분선 작도 원리 검산을 계산과 분리해 확인한 장면
책상 위에는 각의 이등분선 작도 원리를 설명한 자료가 놓여 있었다. 원래 그림에는 각의 두 변에서 같은 거리에 표시한 점들과 두 호가 만나는 지점이 나타나 있었고, 학생은 그 교점과 각의 꼭짓점을 연결한 선을 각의 이등분선으로 읽었다. 자료 옆에는 기존 그림과 새 표현을 오가는 화살표 두 개도 그려져 있었다.
처음 설명을 들었을 때 학생은 그림 속 선의 위치를 먼저 보았다. 두 변 사이에서 대략 가운데를 지나면 된다고 생각해, 배치가 달라진 그림에서도 눈대중으로 가운데 선을 그었다. 원래 자료에서는 결과가 맞아 보였지만, 선과 호의 위치가 바뀌자 어떤 표시를 근거로 판단했는지 답안에 남지 않았다.
가운데에 보인 선이 항상 같은 선은 아니었다
학생의 첫 판단이 그림 배치에 우연히 기대고 있는지 확인하기 위해 두 변에서 같은 거리에 있는 점을 각각 만들었다. 두 점을 중심으로 같은 반지름의 호를 그린 뒤, 호가 만나는 점과 각의 꼭짓점을 연결했다. 이어서 처음 그림과 순서를 바꾼 표현을 나란히 놓고, 각 요소가 같은 역할을 유지하는지 표시했다.
이 대조에서는 선의 위치가 달라져도 두 변에서 같은 거리에 있는 점을 만들고, 그 점들을 이용해 얻은 호의 교점을 꼭짓점과 연결한다는 관계가 남아 있었다. 반대로 눈으로 가운데처럼 보이는 선은 그림의 방향이나 크기가 바뀌면 그대로 유지되지 않았다.
학생이 놓친 부분은 작도 결과를 단순히 다른 그림으로 옮기는 데 그친 점이었다. 문장이나 식, 그림으로 표현을 바꿀 때 어떤 정보가 같은 역할을 하는지 구분하지 않았기 때문에 위치가 바뀐 자료에서 대응 관계를 찾지 못했다.
계산보다 먼저 작도에 사용한 조건을 적었다
이후에는 계산이나 선 긋기를 시작하기 전에 적용 조건을 먼저 말하도록 했다. 학생은 “두 변에서 같은 거리에 있는 점을 만들고, 같은 반지름의 호가 만나는 점을 꼭짓점과 연결한다”고 적었다. 그다음 문장을 식으로 옮기고, 다시 그림으로 나타냈다. 각 단계에서는 같은 정보를 나타내는 부분에 번호를 붙였다.
문장에는 ① 두 변에서 같은 거리, ② 같은 반지름의 호, ③ 호의 교점, ④ 꼭짓점과 교점의 연결이라는 번호가 붙었다. 식으로 바꾼 뒤에도 같은 번호를 대응시켰고, 그림에서는 두 호와 연결선을 각각 표시했다. 표현이 달라질 때마다 화살표 옆에 새 내용을 덧붙이는 대신, 번호가 어디로 이동했는지 기록했다.
순서와 위치를 바꾼 자료에서 다시 찾은 관계
재적용 자료에서는 숫자는 그대로 두고, 설명의 순서와 그림 속 위치만 바꾸었다. 먼저 호의 교점을 보여 주고 나중에 같은 거리 조건을 제시한 자료도 있었고, 연결선이 화면 한쪽에 치우친 그림도 있었다. 학생은 이번에는 그림의 가운데 위치를 바로 표시하지 않고, 두 표현에서 같은 번호가 붙은 요소를 찾아 첫 판단을 세웠다.
완성하기 전에는 두 표현에서 얻은 결론을 먼저 맞춰 보았다. 한 표현에서는 두 변에서 같은 거리인 점을 확인하고, 다른 표현에서는 그 점을 중심으로 그린 같은 반지름의 호가 만나는 지점을 찾았다. 두 결과가 달라 보이면 선의 방향을 임의로 고치지 않고, 번호가 붙은 대응 요소부터 다시 대조했다.
완료 표시를 남기는 방법
현재 그림의 결과가 조건을 만족하는지 확인할 때는 연결선을 그었다는 사실만으로 끝내지 않았다. 완성된 선 양쪽의 각을 측정해 같은지 살펴보거나, 작도에 사용한 두 변까지의 거리가 같은지 확인했다. 두 표현의 결론이 먼저 일치해야 했고, 측정이나 거리 확인에서 차이가 나오면 대응 표시를 다시 검토했다.
다음 자료를 처음 보았을 때 관찰할 장면도 달라졌다. 학생이 곧바로 선의 위치를 고르는지, 아니면 표현이 바뀌어도 같은 번호의 관계를 먼저 찾는지 살핀다. 답을 확정하기 전, 두 표현의 결론을 맞춰 보려는 표시가 답안에 먼저 나타나는지를 확인한다.