시흥 중등수학과외, 여사건을 이용한 확률 계산 전에 다시 확인한 결정 조건
답안 옆에 붙어 있던 자료에는 전체 사건과 제외되는 사건을 나타낸 도식이 있었다. 그런데 학생은 도식의 위치 정보와 역할 정보를 서로 다른 줄에 적어 두었다. 그림에서 전체가 어느 쪽에 놓였는지, 제외되는 부분이 어디에 표시됐는지는 기록했지만, 두 사건 사이의 관계는 별도로 확인하지 않았다.
표현이 바뀐 문제를 보자 학생은 여사건을 이용한 확률이 달라진 것처럼 받아들였다. 원하는 사건을 바로 세기 어렵다고 판단하자, 다시 가능한 경우를 하나씩 모두 나열하는 방법을 선택했다. 앞서 풀었던 예제에서 전체-제외 사건이 배치된 모양을 떠올리며 계산 순서를 정한 것이다.
그림의 방향이 바뀌자 드러난 판단 기준
같은 관계를 나타낸 도식을 뒤집거나 회전해 제시했다. 이번에는 계산을 시작하기 전에 결과가 어느 정도일지 먼저 예상하게 했다. 원하는 사건의 확률을 직접 구하기 어려운 경우에도, 전체 확률 1에서 그 사건이 일어나지 않는 확률을 빼면 원하는 사건의 확률을 얻을 수 있다는 관계를 사용해야 했다.
도식의 방향과 기호가 달라져도 전체와 제외 사건의 관계는 그대로 남았다. 학생이 처음 의지한 것은 관계가 아니라 예제의 배치였고, 정답 여부를 가린 채 그림의 모양만 옮겨 읽은 것이 문제의 원인이었다. 표현 전환을 풀이의 복사로 처리하면서 무엇이 바뀌었고 무엇이 유지되는지 구분하지 못했다.
지우지 않은 풀이 옆에 남은 두 형식의 기록
기존 풀이를 지우지 않고, 기준이 달라지는 지점을 옆에 표시했다. 자료를 다시 배치하기 전에는 ‘전체에서 제외 사건을 뺀다’는 불변 관계를 먼저 적었다. 그다음 문장·식·그림 가운데 두 형식으로 같은 내용을 나타내고, 서로 대응하는 부분에 같은 번호를 붙였다. 문장에서는 전체 확률에서 반대 사건의 확률을 뺀다고 적었다. 식에서는 원하는 사건의 확률을 전체 확률 1과 여사건의 확률로 표현했다. 그림에서는 전체 영역과 제외 영역에 앞서 붙인 번호를 다시 표시했다.
이렇게 남긴 기록에서는 도식의 위치가 바뀌어도 번호가 가리키는 정보가 어디에 남았는지 확인할 수 있었다. 모양을 그대로 따라 그리는 대신, 같은 내용을 나타내는 부분을 찾아 연결하는 방식으로 풀이가 이어졌다.
새 배치에서 먼저 맞춰 본 두 결론
새 수치와 다른 방향의 도식이 제시됐을 때 학생은 최종값부터 확정하지 않았다. 먼저 문장으로 읽은 결론과 식으로 계산한 결론이 같은지 맞춰 보았다. 이어 작은 경우를 직접 나열해 얻은 확률과 여사건을 이용해 계산한 값도 비교했다.
두 결과가 어긋났을 때는 계산식을 처음부터 다시 쓰지 않고 대응 요소부터 살폈다. 전체 사건으로 표시한 부분과 제외 사건으로 표시한 부분의 번호가 서로 바뀌었는지, 직접 나열한 경우 중 빠진 항목이 있는지를 확인했다. 그 뒤 두 표현의 결론을 다시 맞추고, 소규모 예의 결과와 계산값이 일치하는지 확인했다.
마지막 기록에는 도식의 방향을 바꿔도 같은 관계를 회수할 수 있도록 표시가 남았다. 처음 답을 지우지 않은 채 옆에서 기준이 바뀌는 지점을 찾았고, 새 문제에서는 표현이 달라져도 먼저 두 결론을 맞춰 보는 행동이 나타났다.
다음 확인에서는 첫 답을 지우지 못하게 한 뒤, 그림의 위치가 달라져도 같은 관계를 찾아 표시하는지부터 살핀다.