운중동 중등수학과외, 도수가 커도 비율은 달라질 수 있었던 상대도수 비교
표 옆의 작은 표시가 드러낸 첫 판단
처음 기록에는 계산보다 위치 표시가 먼저 남아 있었다. 왼쪽에 놓인 항목과 오른쪽에 놓인 항목을 그대로 대응시키고, 전체 자료 수가 서로 다른데도 도수의 크기를 비중의 크기처럼 읽었다. 같은 계급에 속한 자료가 어느 집단에 더 많이 나타났는지만 보고 비교한 것이다.
이 기준이 언제나 틀리는 것은 아니었다. 두 집단의 전체 자료 수가 같다면 도수가 큰 쪽의 상대도수도 커질 수 있다. 그래서 학생은 자신의 판단을 바로 버리지 못했다. 그러나 전체 자료 수가 달라진 대조 자료에서는 같은 도수라도 차지하는 비율이 달라졌다. 이때 필요한 비교 대상은 도수 자체가 아니라 각 집단의 전체 자료 수에 대한 해당 계급의 비율이었다.
도식의 방향이 아니라 대응 관계를 찾기
두 집단 전체 수 대비표를 다시 살펴보면서, 학생은 기호의 모양과 위치가 판단의 근거가 될 수 없다는 단서를 확인했다. 그림을 회전하거나 방향을 뒤집어도 같은 계급과 같은 집단을 가리키는 대응 요소는 남아 있었다.
이후에는 표의 모든 정보를 한꺼번에 읽지 않고 결정에 필요한 부분부터 추렸다. 각 집단의 전체 자료 수와 비교하려는 계급의 도수를 확인한 다음, 상대도수를 해당 계급의 도수 ÷ 그 집단의 전체 도수로 계산했다. 식과 그림에서 서로 대응하는 항목에는 같은 기호를 붙였다. 기호의 위치가 아니라 그 기호가 가리키는 집단과 계급을 연결한 뒤 계산을 진행했다.
기록 방식도 바뀌었다. 원자료를 가린 뒤 ‘각 집단에서 해당 계급이 차지하는 비율을 비교한다’는 문장을 한 줄로 적고, 그 문장만 보고 다른 형태의 자료를 다시 구성했다. 그림이 표로 바뀌거나 표의 방향이 달라져도 비교해야 할 관계를 먼저 꺼낼 수 있는지 확인하는 장치였다.
뒤집힌 도식에서 다시 선택한 근거
다음 문항은 같은 숫자를 반복한 문제가 아니었다. 상대도수 비교 도식의 방향을 뒤집고 일부 자료의 배치를 회전해, 앞서 본 위치를 기억해서는 풀 수 없도록 했다.
학생은 새 문항에서 계산부터 시작하지 않았다. 먼저 ‘어느 집단의 전체 수를 기준으로 나누는가’와 ‘어느 계급을 비교하는가’를 적었다. 이어 두 표현이 가리키는 결론을 먼저 맞춰 본 뒤, 각 집단의 상대도수 합이 1에 가까운지 확인했다. 해당 계급의 비율도 따로 대조하고, 값이 다르게 나오면 계산을 밀어붙이지 않고 표와 그림의 대응 요소부터 다시 찾았다.
두 표현의 결론이 일치하고, 각 집단의 상대도수 합과 해당 계급 비율이 조건에 맞게 확인된 뒤에야 답을 확정했다. 도수가 큰 집단이라는 말만으로 비율을 정하지 않고, 집단마다 다른 전체 수를 기준으로 나누는 과정을 풀이 안에 남긴 것이다.
힌트 없이 처음 나타나야 할 행동
다음 문제에서는 별도의 표시나 안내 없이 도식의 방향을 바꿔 제시한다. 학생이 가장 먼저 전체 자료 수와 비교 계급을 찾아 적는지, 표현이 달라도 같은 관계를 회수하는지가 관찰 지점이다.