약분한 뒤에도 남아 있던 제외값, 개포동 고등수학과외 함수 풀이 기록
개포동 고등수학과외 학습 기록에서 먼저 눈에 들어온 것은 수정 전후 답안을 나란히 펼쳐 놓은 장면이었다. 원래 함수식과 제외값 메모, 수정한 답의 범위를 맞대어 보니 첫 계산 줄보다 답의 조건이 달라진 지점이 선명하게 드러났다.
지운 식을 복원하자 답보다 먼저 보인 것
처음 기록에는 분모가 0이 되는 값을 제외하지 않은 채 함수값을 계산한 식이 남아 있었다. 학생은 식을 약분하면 해당 값도 함께 사라진다고 생각했다. 그래서 한 번 성공했던 풀이 순서를 조건이 달라진 문제에도 그대로 적용했다.
식의 모양이 바뀌어도 원래 식의 제한은 사라지지 않는다.
지운 식을 복원해 보자 계산 결과보다 먼저 달라진 조건이 보였다. 약분 뒤 식이 간단해졌다는 사실과, 처음 함수식에서 분모를 0으로 만들던 값이 정의역에서 제외된다는 사실은 별개였다.
수정 이유를 남긴 한 줄
학생은 변형 전 식에서 분모를 0으로 만드는 값을 먼저 적었다. 그리고 마지막 답의 범위에서도 그 값을 다시 제외했다. 최종 답 아래에는 원래 식에 값을 대입한 과정과 문장 조건을 확인한 내용을 따로 덧붙였다.
일반값과 경계값을 각각 대입하면서 결론이 유지되는 범위를 다시 정한 것도 중요한 변화였다. 도움을 받은 마지막 단계와 혼자 풀이를 시작한 첫 단계를 구분하지 않았던 기록이, 이 한 줄을 기준으로 나뉘었다.
경계가 늘어난 변형 문제에서 드러난 변화
이후 약분되는 인수가 달라진 문제를 풀 때 학생은 계산부터 시작하지 않았다. 원래 식의 제외값을 먼저 표시한 뒤, 경계가 하나 더 생긴 상황에서는 각 구간을 따로 살폈다.
처음 문제와 같은 식을 반복한 것이 아니라 식의 형태와 경계가 달라진 장면에서 같은 기준을 적용한 것이다. 이 학습 기록 학습 자료에 남은 원래 함수식, 제외값 메모, 수정한 답의 범위가 이 변화를 비교할 수 있는 근거가 됐다.
첫 시도를 지우지 않은 이유
학생은 최초 식과 수정 뒤 식이 갈린 한 줄을 지우지 않고 남겼다. 수정 전의 선택을 보존했기 때문에, 약분한 식만 보고 제외값까지 없앤 판단과 원래 식의 제한을 답의 범위에 반영한 판단을 나란히 비교할 수 있었다.
다음 문제에서는 식을 바꾸기 전에 분모의 제외값을 한 줄로 적고, 수정하기 전의 선택도 함께 남기는지 살피게 된다. 답만 맞는지가 아니라 어떤 제한을 먼저 적었는지가 다음 풀이의 점검 기준이다.