용인 고등수학과외, 조건 뒤 표본공간을 다시 세게 만든 두 줄
용인 고등수학과외에서 살펴본 한 조건부확률 풀이에는 문장과 첫 식이 어긋난 흔적이 남아 있었다. 학생은 밑줄 친 문장과 실제 계산을 한 줄씩 대응했지만, 조건이 주어진 뒤에도 처음 전체 경우를 분모로 사용했다. 답을 가린 것은 복잡한 계산보다 조건을 어디에 반영했는지 드러나지 않은 풀이 구조였다.
두 답이 같으면 방법도 상관없다는 첫 판단
학생은 두 방법의 답이 같다면 어느 쪽을 골라도 중요하지 않다고 생각했다. 그래서 조건은 분자에만 반영하면 된다고 보았고, 조건 이후 표본공간이 줄어드는 과정은 식에 표시하지 않았다. 계산 결과만 맞으면 풀이의 출발점은 다시 살필 필요가 없다고 판단한 셈이다.
경계값에서 드러난 빈 표본공간의 틈
원래 표본공간과 조건 뒤 표본공간을 나란히 놓고, 경계값을 대입하자 일반적인 값에서는 보이지 않던 빈틈이 나타났다. 답안에는 조건 뒤 전체를 새로 세었다는 표시가 없었고, 방법을 고르는 과정에서도 오류가 생긴 식과 그 직전 판단이 함께 남아 있지 않았다. 실제 원인은 계산 줄 하나의 실수가 아니라 조건을 만족한 경우만 남도록 표본공간을 줄였다는 사실을 기록하지 않은 데 있었다.
조건부확률에서는 조건을 분자에만 붙이는 것이 아니라, 조건을 만족한 전체 경우를 새 분모로 삼아야 한다.
조건을 만족한 경우만 새 표로 묶은 교정
학생은 두 풀이의 출발 조건과 검산 위치를 각각 표시한 뒤 두 방법을 대조했다. 이어 조건을 만족한 경우만 새 표로 묶고, 그 개수를 분모로 사용했다. 전체 풀이를 다시 베끼지 않고 설명이 끊긴 두 줄 사이만 문장으로 보완해, 원래 표본공간과 조건 뒤 표본공간을 구별했다.
학습자료에는 독립 재풀이, 시작 조건 메모, 원래 표본공간, 조건 뒤 표본공간, 분자와 분모의 대조가 남았다. 최종 답 아래에는 원래 식 대입과 문장 조건 확인도 따로 적었다. 이 학습 기록에서 중요하게 본 지점은 정답 자체보다 어느 표본공간을 분모로 삼았는지 답안에서 추적할 수 있었는가였다.
식이 짧은 쪽보다 검산점이 보이는 쪽을 선택하다
새 문항에서는 식이 짧은 방법 대신 설명을 이어 갈 수 있는 방법을 택했다. 표와 나무그림이 함께 나온 문제에서도 조건 뒤 가지부터 다시 세었고, 표현이 달라진 상황에서도 공통 조건과 새 조건을 구분했다. 다른 방법으로 검산하던 기준이 바뀐 자료에서도 이어진 장면이다.
따라서 풀이 선택의 기준은 길이가 아니었다. 두 방법 가운데 계산량과 함께 중간 검산 지점을 설명할 수 있는 쪽을 고르는 것이었다. 다음 문제에서는 “조건부확률에서는 조건 뒤 전체를 다시 센다”는 문장을 먼저 적고, 풀이가 둘이면 근거가 드러나는 위치까지 비교하면 된다.