갈매동 수학과외, 안쪽 미분을 빠뜨린 식에서 바깥함수와 안쪽함수를 나눈 과정
학습 앱의 소요시간과 실제 풀이 여백을 맞춰 보니 ‘바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 빠뜨린 식’이 남아 있었다. 갈매동 수학과외 학습에서 중요한 것은 정답보다 같은 선택을 다시 하는지 확인하는 일이었다.
겉모양의 지수만 내리면 끝난다고 본 판단
학생은 겉모양의 지수만 내리면 미분이 끝난다고 생각했다. 그래서 바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 빠뜨린 식이 작성되었다. 문제 수를 늘려도 같은 순서로 틀릴 가능성이 남아 있었다.
함수의 층을 표시하지 않은 채 공식을 적용한 원인
풀이 기록에서 확인된 실제 원인은 함수의 층을 표시하지 않은 채 공식을 적용한 것이었다. 익숙한 문제에서는 우연히 맞아 이 취약점이 늦게 드러났다. 처음 판단이 ‘겉모양의 지수만 내리면 된다’는 기준이었다면, 기록에서 확인된 원인은 안쪽과 바깥쪽의 층을 구분하지 않은 채 미분한 데 있었다.
미분하기 전에 안쪽 식과 바깥함수를 구분해 연결한다.
안쪽 식에 상자를 치고 미분 과정을 연결한 기록
학생은 안쪽 식에 상자를 치고, 바깥 미분과 안쪽 미분을 색이 다른 화살표로 연결했다. 풀이량보다 이 확인 행동이 실제로 남았는지를 먼저 기록하면서, 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는 기준을 풀이에 남겼다.
수치와 배열이 달라진 문제에서 다시 확인한 기준
사흘 뒤 수치와 배열만 바꾼 문제에서 학생이 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는지 확인했다. 조건이 달라진 지점을 스스로 말하지 못하면 원래 단계로 돌아갔다. 이 학습 기록에서 이 장면은 같은 교정 행동을 새 문제에 독립적으로 적용하는 과정으로 기록되었다.
다음에는 서술형으로 바꾼 문제에서도 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는지가 유지되는지 확인한다. 갈매동 학생의 풀이에서는 안쪽 식의 표시와 두 미분을 연결한 근거가 다음 문제에서도 남아 있는지가 판단 기준이 된다.