갈매동 중등수학과외, 외심과 세 꼭짓점까지의 거리 결과를 정하기 전 다시 읽은 원조건
수직이등분선들이 만나는 점을 표시한 지도 옆에, 한 학생은 판정 근거를 비워 둔 채 계산부터 시작했다. 같은 자료를 보고도 예각삼각형에서는 교점이 삼각형 안에 나타났고, 둔각삼각형에서는 교점이 삼각형 밖에 나타났다. 두 그림을 나란히 놓자 ‘삼각형 중심’이라는 익숙한 말만으로 위치를 결정할 수 없는 장면이 먼저 드러났다.
학생의 첫 메모에는 “중심은 세 변에서 같은 거리”라고 적혀 있었다. 지금까지 본 예제에서 중심이 삼각형 안쪽에 있었고, 변과의 거리도 그림에서 비슷해 보였기 때문이다. 그러나 둔각삼각형의 그림에서는 같은 방식으로 선을 그어도 교점이 바깥에 놓였다. 출발 방법이 같아도 결과가 달라지는 대조가 생기면서, 처음 기준이 모든 삼각형에 바로 적용되는지 확인할 필요가 생겼다.
비슷한 그림에서 가져온 조건이 어디서 어긋났나
문제는 외심의 위치를 틀리게 기억한 데서 끝나지 않았다. 익숙한 예제와 닮았다는 이유로 ‘세 변까지의 거리가 같다’는 성질과 ‘세 꼭짓점까지의 거리가 같다’는 성질을 한꺼번에 같은 조건처럼 가정한 것이 오판의 원인이었다. 수직이등분선 교점 지도와 둔각삼각형 반례를 함께 놓으니, 그림의 모양이 아니라 문제에 실제로 제시된 대상과 조건을 구분하지 않은 과정이 보였다.
외심은 세 변에서 같은 거리에 있는 점으로 정하는 것이 아니라, 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 그 점에서 세 꼭짓점까지 그은 세 선분의 길이가 같다. 따라서 계산을 시작하기 전에 자료에서 수직이등분선의 교점이 무엇인지, 거리의 대상이 변인지 꼭짓점인지부터 가려야 한다. 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 밖에 놓일 수 있지만, 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 성질은 그대로 사용된다.
계산 칸 앞에 먼저 들어간 짧은 확인
학생은 수직이등분선 교점 지도 아래에 있던 계산 시작점을 바로 쓰지 않고, 산출물 확인 칸을 하나 만들었다. 그 칸에는 “외심 = 세 변의 수직이등분선 교점”, “세 꼭짓점까지 거리 같음”을 나누어 적었다. 이어 현재 문제에서 요구하는 거리가 어느 대상과 연결되는지 표시한 뒤에야 식을 옮겼다.
기록의 순서도 바뀌었다. 예전에는 그림을 본 뒤 익숙한 공식을 골랐다면, 이제는 자료의 조건을 읽고 적용 가능성을 판단한 다음 계산을 배치했다. 외심의 위치가 안쪽인지 바깥쪽인지는 그림에 표시했지만, 그 위치만으로 꼭짓점까지의 거리 조건을 버리거나 새로 만들지는 않았다.
문자와 기호가 섞인 문제에서도 남은 순서
후속 변형 문제에서는 길이가 숫자로 주어지지 않고 문자와 기호가 섞여 있었다. 모양과 표현이 달라졌지만 학생은 곧바로 값을 대입하지 않았다. 먼저 수직이등분선의 교점이 외심인지 확인하고, 문제에서 묻는 선분이 외심과 세 꼭짓점을 잇는지 표시한 뒤 계산 순서를 정했다.
교사가 중간에 기준을 다시 말해 주지 않아도 학생은 확인 칸을 찾아 조건을 먼저 체크했다. 식을 정리한 뒤에는 외심에서 세 꼭짓점까지 선분을 직접 그어 세 길이를 비교했다. 문자로 남은 결과도 그림과 맞는지 살펴보며, 세 선분이 같은 길이를 나타내는지 확인한 뒤 답안을 닫았다.
다음 자료에서는 필요 없는 선과 숫자까지 섞어 둔 문제를 처음 펼쳤을 때, 학생이 계산 전에 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지를 본다. 마지막 표시가 외심에서 세 꼭짓점으로 향하는 세 선분에 먼저 놓이는지 확인한다.