김포 중등수학과외, 무리수의 정수 사이 위치에서 반례 뒤 바뀐 √n 판단
중3 무리수 단원에서 한 학생은 제곱근의 위치를 묻는 문제를 풀며 제곱수 경계표와 수직선을 나란히 그렸다. 표에는 완전제곱수들이 순서대로 적혀 있었고, 수직선에는 해당 수의 제곱근이 놓일 만한 위치가 표시되어 있었다. 겉보기에는 두 자료가 같은 결론을 가리키는 듯했지만, 학생의 메모에는 “n과 가장 가까운 정수”라는 판단이 먼저 적혀 있었다.
예를 들어 어떤 수의 제곱근이 4와 5 사이에 있다는 사실을 찾을 때도, 학생은 두 정수 중 원래 수에 더 가까운 쪽을 고르려 했다. 제곱근의 위치를 제곱수 사이에서 찾는 대신, 수 자체와 정수의 거리를 비교한 것이다. 표와 수직선에서 눈에 먼저 들어온 숫자가 풀이의 기준이 되면서, 두 자료가 실제로 무엇을 나타내는지는 뒤로 밀려났다.
비슷해 보이는 두 배치가 같은 결론을 만들지 않을 때
처음 기준이 항상 맞는지 확인하기 위해 완전제곱수 바로 앞과 바로 뒤의 수를 함께 놓았다. 같은 방식으로 판단하면 될 것처럼 보이는 두 사례였지만, 경계에 놓인 수를 바꾸자 학생이 고른 정수가 달라졌다. 특히 완전제곱수에 가까운지 여부만으로는 제곱근이 어느 두 정수 사이에 있는지를 결정할 수 없었다.
학생은 표의 항목을 하나씩 지워 보며 무엇이 사라질 때 결론이 바뀌는지도 표시했다. ‘가장 가까운 정수’ 항목을 지워도 제곱수의 순서와 양쪽 경계가 남아 있으면 위치를 판단할 수 있었지만, 연속한 완전제곱수 중 하나를 지우면 범위를 정할 수 없었다. 판단을 바꾸게 한 것은 수치의 크기나 배열이 아니라, n을 양쪽에서 둘러싼 제곱수의 관계였다.
√n의 위치를 정하는 기준을 표에 남기다
이후 풀이에서는 계산을 시작하기 전에 사용할 기준과 사용하지 않을 기준을 나누었다. n을 둘러싼 연속한 완전제곱수를 먼저 찾고, 두 수를 각각 정수의 제곱으로 나타내 제곱근의 범위를 정했다. 즉, a² < n < b²이면 a < √n < b로 판단한다. n과 가까운 정수를 고르는 방식은 이 범위를 정하는 기준으로 쓰지 않았다.
학생은 제곱수 경계표와 수직선 아래에 조건 판정 표시를 추가했다. 예외가 되는 값과 위치를 한 줄로 적고, 두 경계가 연속한 완전제곱수인지 확인하도록 했다. 반례도 같은 표에 남겨 두어, 새 풀이가 모든 수에 무조건 적용되는 것이 아니라 주어진 부등식과 경계 조건 안에서 사용된다는 점을 구분했다.
숫자와 자료 형태를 바꾼 뒤에도 먼저 경계를 찾다
재확인에서는 숫자만 바꾸지 않고, 무리수의 정수 사이 위치를 문장과 식으로 제시한 두 풀이 경로를 함께 보여 주었다. 하나는 수직선에서 위치를 읽는 방식이었고, 다른 하나는 완전제곱수의 부등식으로 범위를 찾는 방식이었다. 학생은 두 풀이가 비슷한 답을 낼 때도 곧바로 계산하지 않고, 먼저 조건을 충족하는 경계가 있는지 살폈다.
조건이 달라진 문제에서는 교사의 표시 없이 ‘판단→계산’ 순서를 그대로 유지했다. 완전제곱수 표에서 양쪽 경계를 찾은 뒤, 식으로 부등식을 세우고 수직선에 해당 구간을 표시했다. 마지막에는 찾은 두 정수를 제곱하여 n이 실제로 그 두 제곱수 사이에 놓이는지 확인했다.
다음 기록에서 먼저 보게 될 것
다음 자료에서는 같은 내용을 문장·식·그림 중 다른 형식으로 바꾸어 제시할 예정이다. 학생이 가장 먼저 확인할 장면은 숫자와 가까운 정수가 아니라, 성립 조건과 예외의 경계에 표시하는 첫 선이다.