성북구 중등수학과외, 도수만 보던 표에서 상대도수 칸까지 이어진 중1 풀이
도수분포표에 남은 한 표가 출발점이었다. 자료 수가 다른 두 집단을 비교하면서 학생은 도수만 보고 어느 집단의 비율이 더 크다고 판단했다. 표에는 두 집단의 전체 자료 수가 적혀 있었지만, 그 수를 비교 과정에 사용한 흔적은 없었다. 막대가 높거나 도수가 큰 쪽이면 비중도 클 것이라고 본 것이다.
이 장면은 단순히 답이 틀린 사례와 달랐다. 학생은 처음부터 도수분포표를 읽지 못한 것이 아니라, 표에 있는 수 가운데 무엇을 비교의 기준으로 삼을지 먼저 정해 두었다. 익숙하게 보이는 도수의 크기를 바로 비교하면서 자료 수가 서로 같은지 살피는 단계가 빠졌다. 그래서 도수가 큰 집단이 실제 비율도 큰지 확인하기 전에 결론이 정해졌다.
도수분포표의 숫자와 비율을 가르는 줄
최초 종이의 도수분포표와 완성본의 상대도수 계산 칸을 맞대자, 지운 줄을 복원할 수 있었다. 그 줄에서 전체 자료 수가 처음 필요한 위치가 드러났다. 기록에서 좁혀진 실제 원인은 자료 수가 다를 때 도수를 전체로 나눈 상대도수가 필요하다는 점을 놓친 것이었다.
도수는 각 계급에 들어 있는 자료의 개수이고, 상대도수는 그 개수를 전체 자료 수와 견주어 나타낸 값이다. 따라서 전체 자료 수가 다른 두 집단에서는 도수의 크기만으로 비중을 비교할 수 없다. 수정 전후 자료를 맞대었을 때 도수분포표와 상대도수 계산 칸이 갈리는 줄에서 이 누락이 분명해졌다.
전체 도수를 먼저 합하고 계산 칸을 남기다
성북구 중등수학과외 학습 자료에는 한 화면에 도수분포표, 전체 자료 수, 상대도수 계산 칸을 함께 놓았다. 학생은 각 집단의 전체 도수를 먼저 합했다. 이어 계급별 도수를 전체 자료 수로 나누어 상대도수를 비교했다. 이전처럼 막대 높이나 도수의 크기만 바라보지 않고, 어느 전체를 기준으로 계산한 값인지 식의 흐름을 따라간 것이다.
수정 뒤에는 도수분포표와 상대도수 계산 칸을 나란히 두어 판단이 달라진 줄을 남겼다. 자료를 단순히 다시 적은 것이 아니라, 도수분포표에서 전체 자료 수를 거쳐 상대도수 계산 칸으로 이어지는 순서를 한 화면에 기록했다. 이 순서가 있어야 처음 판단과 수정된 비교가 어디에서 갈렸는지 다시 볼 수 있었다.
표본 크기가 달라도 같은 계급을 견주다
조건이 바뀐 뒤에는 표본 크기가 달라진 자료에서도 같은 계급의 상대도수를 사용했다. 히스토그램과 표가 함께 제시된 문제에서는 계급 구간과 전체 수를 맞췄다. 새 문항에서도 도수분포표에서 상대도수 계산 칸까지 이어지는 근거를 다시 남겼다.
이때 달라진 것은 문제를 대하는 순서였다. 표본의 수가 달라지면 도수의 크기를 곧바로 비교하지 않고, 같은 계급을 찾은 뒤 각 집단의 전체 자료 수를 기준으로 계산한 상대도수를 살폈다. 처음 문제의 표를 그대로 반복한 것이 아니라, 표본 크기가 달라진 자료와 히스토그램·표가 함께 있는 표현에서도 같은 기준을 혼자 적용한 장면이다.
이 학습 기록에서 이 풀이를 정리할 때 남은 최소 점검은 세 가지로 좁혀졌다. 두 집단을 비교할 때 전체 자료 수가 같은지 먼저 본다. 상대도수의 합이 1이 되는지 계산해 표를 검산한다. 그리고 새 문항의 첫 줄에 전체 자료 수가 먼저 남았는지 본다. 다음 문제에서는 도수의 크기를 보기 전에 전체 자료 수부터 적고, 상대도수 계산 칸을 남긴 뒤 비교한다.