일산동 중등수학과외, 지수법칙에서 곱셈·나눗셈을 가르는 조건
답안보다 먼저 눈에 들어온 것은 중2 학생이 직접 만든 연산기호별 지수 규칙 카드였다. 카드에는 곱셈과 나눗셈의 규칙이 나란히 적혀 있었고, 오른쪽에는 답을 결정하는 조건을 따로 적는 칸이 마련되어 있었다. 그런데 처음 풀이에서는 그 칸이 비어 있었다.
카드의 한쪽에는 같은 밑을 곱할 때 지수를 더한다고 적혀 있었고, 다른 쪽에는 같은 밑을 나눌 때 지수를 뺀다고 적혀 있었다. 학생은 두 규칙을 구분해 적어 놓고도 실제 계산에서는 밑이 같다는 사실만 확인한 뒤 지수를 더했다. 연산기호가 달라졌는데도 같은 절차를 적용한 것이다.
정답을 가린 두 식에서 드러난 혼동
이 판단이 어디서 무너지는지 보기 위해 정답을 가린 자료를 붙였다. 두 자료는 조건 하나만 다르게 만들었다. 하나는 같은 밑의 곱셈, 다른 하나는 같은 밑의 나눗셈이었고, 뒤쪽에는 두 연산이 한 식에 연속으로 섞인 사례도 배치했다.
학생은 처음 두 식을 익숙한 예제와 비교하며 처리했다. 밑이 같다는 공통점이 보이자 두 식 모두 지수를 더하려 했다. 그러나 카드의 규칙과 첫 답을 맞춰 보면서, 계산을 틀린 직접 원인이 지수 계산 자체가 아니라는 점이 드러났다. 익숙한 식과 비슷하다는 이유로 곱셈과 나눗셈의 성립 조건을 같은 것으로 가정한 것이었다.
계산 전에 네모 칸부터 확인하기
이후 카드의 규칙 문장만 네모로 분리해 다시 적었다. 네모 안에는 “같은 밑의 곱은 지수를 더한다”, “같은 밑의 나눗셈은 지수를 뺀다”라고 각각 기록했다. 학생은 계산을 시작하기 전에 먼저 연산기호를 확인하고, 그다음 밑이 같은지 살피는 순서를 정했다.
표준 사례만 보고 규칙을 고정하지 않도록 곱셈 사례와 나눗셈 사례를 함께 통과시켰다. 두 연산이 한 식에 이어진 자료에서는 왼쪽부터 기호를 표시한 뒤, 각 단계에 해당하는 규칙을 카드에서 찾아 적용했다. 이전처럼 “밑이 같으니 더한다”는 한 문장으로 식 전체를 처리하지 않았다.
숫자가 사라진 식에 카드를 옮기다
다음 자료에서는 숫자 대신 문자와 기호가 섞인 형태를 사용했다. 모양이 낯설어졌지만 학생은 먼저 곱셈인지 나눗셈인지 표시하고, 같은 밑이라는 조건이 실제로 갖춰졌는지 확인했다. 카드에서 네모 친 문장을 다른 자료 옆으로 옮겨 놓은 뒤 혼자 지수를 정리했다.
마지막에는 밑에 간단한 수를 넣었다. 원래 식에 그 수를 대입해 계산한 값과 지수 정리식의 값을 각각 구해 비교했다. 두 결과가 일치한 뒤에야 풀이를 닫았다.
다음 자료에서 먼저 볼 자리
새 자료에는 계산에 필요하지 않은 정보도 섞어 두었다. 다음에는 학생이 숫자나 식의 모양보다 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지 살핀다. 풀이를 닫기 전에는 간단한 수를 밑에 넣어 두 식의 값을 비교하는 장면까지 이어지는지 확인할 예정이다.