지행동 수학과외, 조건을 만족하는 경우를 남겨 분모와 분자를 다시 센 장면
첫 풀이와 다시 푼 풀이를 나란히 놓자, 답안에는 ‘원래 전체 경우를 분모에 그대로 둔 확률식’이 남아 있었다. 조건부확률에서 조건이 주어지면 조건을 만족하는 경우를 기준으로 전체 경우를 다시 정해야 하지만, 처음 기록에는 그 변화가 표시되지 않았다.
원래 전체 경우를 분모에 그대로 둔 확률식
학생은 조건을 분자에만 추가하면 된다고 판단했다. 풀이 속도를 우선하면서 조건이 적용된 뒤의 기준을 확인하는 단계는 뒤로 밀렸다. 같은 교재에서만 가능한 선택인지 새 자료에서도 비교할 수 있도록 첫 풀이와 다시 푼 풀이를 함께 확인했다.
조건 이후의 표본공간을 표시하지 않은 단계
풀이 기록에서 확인된 실제 원인은 조건 이후의 표본공간을 새로 표시하지 않았다는 점이었다. 조건을 만족하는 경우가 무엇인지 표시가 없으니, 학생 스스로도 어느 단계에서 분모의 기준이 달라져야 하는지 되짚기 어려웠다.
조건이 주어지면 남은 경우를 먼저 정하고, 그 기준으로 분모와 분자를 다시 센다.
남은 경우의 목록으로 분모와 분자를 다시 세기
학생은 조건을 만족하는 경우만 남긴 목록을 만든 뒤 분모와 분자를 다시 세었다. 새 풀이에는 처음 식을 선택한 근거도 짧게 덧붙였다. 지행동 수학과외에서 확인한 변화는 풀이 전체를 바꾸는 것이 아니라, 조건 이후의 기준을 표시하고 다시 세는 행동 하나에 있었다.
사흘 뒤 수치와 배열이 바뀐 문제에 적용하기
사흘 뒤 수치와 배열만 바뀐 문제에서 학생은 조건이 주어진 뒤 전체 경우가 어떻게 줄어드는지 다시 정하는지 확인했다. 조건을 만족하는 경우를 남긴 목록을 기준으로 분모와 분자를 다시 세며, 속도가 느려져도 확인 순서를 지켰다.
다음 문제에서 확인할 한 문장
지행동 학생의 처음 멈춘 단계는 원래 전체 경우를 그대로 분모에 둔 순간이었다. 다시 시작한 단계는 조건을 만족하는 경우를 남긴 뒤 기준을 바꿔 세는 순간이었다. 학생이 “조건이 주어진 뒤 전체 경우가 어떻게 줄어드는지 다시 정한다”고 자신의 말로 설명할 때, 다음 문제에서도 사용할 수 있는 독립 적용으로 기록한다.