처인구 수학과외, 축만 구하고 꼭짓점의 y좌표를 비워 둔 그래프가 바뀐 순간
시험지를 돌려받은 날, 지운 식과 남긴 식을 구분하자 ‘축만 구하고 꼭짓점의 y좌표를 비워 둔 그래프’가 보였다. 시간이 줄었을 때 가장 먼저 생략한 행동도 그래프에 그대로 남아 있었다. 처인구에서 수학 학습 시간이 달라진 지점은 정답보다 다음 문제의 첫 선택에서 드러났다.
축을 알면 그래프가 정해진다고 판단한 풀이
학생은 대칭축을 알면 그래프 위치도 모두 정해진다고 생각했다. 그래서 이차함수의 식을 다룰 때 축은 구했지만, 꼭짓점의 y좌표는 비워 둔 채 그래프를 표시했다. 도움을 받은 부분과 혼자 결정한 부분도 한 풀이 안에 섞여 있었다.
완전제곱식과 꼭짓점 좌표 사이에 남지 않은 대응
풀이 기록에서 확인된 원인은 완전제곱식과 꼭짓점 좌표의 대응이 남지 않았다는 점이었다. 문제는 풀이법 전체가 아니라, 축을 구한 뒤 꼭짓점의 y좌표를 확인하지 않은 작은 판단에 있었다.
표준형과 꼭짓점·절편을 따로 표시한 변화
학생은 식을 표준형으로 바꾼 뒤 꼭짓점과 절편을 따로 표시하고 개형을 그렸다. 왜 그렇게 표시했는지는 한 문장으로 말할 수 있을 때 다음 문제로 넘어갔다. 처인구 수학과외에서 확인할 변화도 설명의 양보다 실제 풀이에 이 표시가 남았는지에 있다.
식의 형태를 바꾼 뒤 꼭짓점·축·개형을 함께 확인한다.
선택형에서 짧은 서술형으로 바꾼 재적용
선택형을 짧은 서술형으로 바꾼 뒤에도 학생이 식의 형태를 바꾸고 꼭짓점·축·개형을 함께 확인하는지 살폈다. 정답만 맞힌 것이 아니라 그 판단의 근거가 풀이에 나타나는지가 기준이 되었다. 두 차례 다른 형식에서 이 기준이 나타나면 다음 문제에서 반복하는 양을 줄인다.