용이동 수학과외, 음수인 정적분값을 넓이로 적은 답에서 기준을 바꾼 장면
용이동 수학과외에서 맞고 틀린 결과보다 먼저 본 것은 시험지를 돌려받은 날 남은 풀이 흔적이었다. ‘음수인 정적분값을 그대로 넓이로 적은 답’과 처음 표시와 고친 표시 사이의 변화를 나누어 확인했다.
음수인 정적분값을 그대로 넓이로 적은 기록
정적분값과 넓이를 같게 본 판단의 실제 원인
처음 판단은 정적분값과 도형의 넓이는 항상 같다는 기준이었다. 하지만 풀이 기록에서는 표현이 바뀐 문제에서도 같은 판단을 유지하지 못했다. 실제로 빠진 것은 구간별 그래프 위치와 절댓값 처리였다. 따라서 개념 설명보다 학생이 어떤 선택을 했는지 그 근거를 밖으로 꺼내는 일이 먼저였다.
x축과 만나는 점에서 구간을 나눈 뒤 달라진 계산
학생은 x축과 만나는 점으로 구간을 나누고, 적분값과 넓이를 별도 줄에 계산했다. 답안 여백에는 다음에도 사용할 표시 하나만 남겼다. 이전처럼 음수인 정적분값을 바로 넓이로 옮기지 않고, 그래프의 위치와 절댓값 처리를 계산 과정에 표시하는 행동으로 바뀐 것이다.
그래프의 위치를 먼저 나누고, 정적분값과 넓이를 따로 확인한다.
새 문제에서도 확인 순서를 혼자 지킨 장면
다음 수업의 첫 오 분에는 새 문제로 그래프가 x축 아래에 있는 구간을 넓이와 적분값으로 구분하는지를 확인한다. 조건이 바뀐 문제에서도 학생이 x축과 만나는 점으로 구간을 나누고 두 값을 별도 줄에 계산하는 순서를 혼자 다시 사용했는지가 중심이다. 속도가 느려져도 확인 순서를 지켰다면 문제 수보다 그 행동을 우선한다.
다음 문제에서 다시 꺼낼 최소 점검
다음 수업 첫 문제에서 그래프가 x축 아래에 있는 구간을 넓이와 적분값으로 구분하는지가 보이지 않으면, 연습량보다 도움의 크기를 조정한다. 이 기록의 마무리는 정답 수가 아니라 다음 문제에서 학생이 그래프의 위치를 나누고 정적분값과 넓이를 구별하는 판단 기준을 다시 사용하는 장면에 둔다.