금릉동 고등수학과외, 끝점 하나가 최댓값을 바꾼 풀이 기록
금릉동 고등수학과외 학습 기록을 살펴보던 중, 닫힌구간의 최댓값과 최솟값을 구한 답안에서 후보점 목록과 함수값 표, 최종 비교가 한 장에 놓여 있었다. 처음 시도와 고친 줄을 맞대어 보니, 지워진 식을 복원하기 전에는 보이지 않던 차이가 드러났다.
도함수가 0인 곳만 남은 후보점 목록
학생은 풀이를 끝까지 계산했다는 사실을 모든 판단 근거를 갖추었다는 뜻으로 받아들였다. 그래서 도함수가 0인 곳만 찾으면 최댓값과 최솟값이 정해진다고 보았다. 첫 계산 줄에서 임계점을 찾은 뒤, 그곳의 함수값만 비교 대상으로 남긴 이유도 여기에 있었다.
하지만 문제 문장에는 닫힌구간이라는 조건이 있었다. 기록을 다시 펼치자 임계점은 적혀 있었지만 두 끝점은 후보점 목록에 들어 있지 않았다. 최종값을 계산식에 대입한 결과와 원문 조건에 대조한 결과가 서로 다른 단계에서 어긋난 것이다.
최종값을 원문 조건에 되돌려 대입하다
학생은 먼저 최종값을 계산식에 대입했다. 이어 문제의 문장 조건에도 다시 대입했다. 두 결과가 충돌한 줄에 표시를 남기고, 성립 조건과 계산 절차가 한 줄에 섞여 있던 부분을 나누었다.
그다음 임계점과 두 끝점의 함수값을 한 표에 넣었다. 표의 값을 비교해 가장 큰 값과 작은 값을 골랐고, 오류 직전의 선택과 수정 뒤 선택을 나란히 배치했다. 옆에는 임계점만 남긴 이유와 끝점까지 포함한 이유를 각각 적었다.
닫힌구간의 최댓값과 최솟값은 임계점만으로 결정하지 않고, 임계점과 양 끝점에서의 함수값을 모두 비교해야 한다.
조건 배열이 달라진 문항에서 이어진 기준
이 학습 기록 기록의 다음 장면은 같은 문제를 반복한 것이 아니었다. 임계점이 없는 함수가 제시되자 학생은 답안을 가린 상태에서 먼저 문제의 조건을 읽고, 끝점 값을 비교하는 다음 행동을 정했다.
이번에는 임계점이 후보에 없었지만 두 끝점에서 함수값을 계산해 최댓값과 최솟값을 정했다. 문제 문장과 기호 정의, 후보점 목록, 함수값 표, 최종 비교를 함께 놓은 자료에서 적용 조건과 제외 조건, 확인한 범위가 한 묶음으로 이어졌다.
다음 풀이에서 볼 첫 줄
마지막으로 최종값을 원문에 되돌린 뒤 발견한 충돌은 계산 능력보다 절차 배열의 문제를 보여 주었다. 닫힌구간에서는 임계점과 끝점을 모두 적고, 문장형 문항에서는 조건과 첫 사용 식을 화살표로 연결해야 어느 기준을 적용했는지 드러난다.