화성 수학과외, 바깥함수만 미분한 뒤 안쪽 식을 다시 표시한 장면
첫 풀이와 다시 푼 풀이를 나란히 놓으니 ‘바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 빠뜨린 식’이 남아 있었다. 정답 번호보다 처음 문제를 마주했을 때 어떤 선택을 했는지가 먼저 드러났다. 다음 자료에서는 첫 선택과 그 근거가 함께 달라졌는지를 이어서 확인한다.
겉모양의 지수만 보고 멈춘 첫 선택
학생은 겉모양의 지수만 내리면 미분이 끝난다고 판단했다. 풀이 속도를 우선하면서 확인 단계가 뒤로 밀렸고, 바깥함수만 미분한 식에 안쪽 미분이 빠졌다.
함수의 층을 표시하지 않은 채 적용한 공식
풀이 기록에서 확인된 실제 원인은 함수의 층을 표시하지 않은 채 공식을 적용한 것이었다. 따라서 화성 수학과외의 이 장면에서는 개념 설명을 늘리기보다, 처음 어떤 근거로 식을 선택했는지를 밖으로 꺼내는 일이 먼저 놓였다.
상자와 색이 다른 화살표로 바꾼 풀이
학생은 안쪽 식에 상자를 치고 바깥 미분과 안쪽 미분을 색이 다른 화살표로 연결했다. 새 풀이에는 처음 식을 선택한 근거도 짧게 덧붙였다. 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는 기준이 풀이 기록 안에 보이기 시작했다.
제한시간이 줄어든 자료에서의 독립 재적용
제한시간을 줄인 두 번째 자료에서는 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는지를 확인한다. 첫 선택과 근거가 함께 달라졌는지를 보고 다음 난도를 정한다. 처음 멈춘 단계가 바깥함수 미분에 머문 지점이었다면, 다시 시작한 단계는 안쪽 식을 표시하고 두 미분을 연결하는 지점이다.