지축동 수학과외, 안쪽 식을 빠뜨린 합성함수 미분의 전환
첫 풀이와 다시 푼 풀이를 나란히 놓았을 때, 풀이 여백에는 ‘바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 빠뜨린 식’이 남아 있었다. 정답 여부보다 학생이 어떤 순서로 판단했는지가 먼저 드러나는 장면이었다.
겉모양의 지수만 내린 첫 판단
학생은 겉모양의 지수만 내리면 미분이 끝난다고 생각했다. 자기평가에서는 알고 있다고 표시했지만, 실제 풀이에서는 바깥함수만 미분하고 안쪽 미분을 적지 않았다. 기억보다 풀이 여백에 남은 행동이 처음 기준을 보여 주었다.
함수의 층을 표시하지 않은 실제 원인
기록을 따라가면 문제는 단순히 실수했다는 데 있지 않았다. 함수의 층을 표시하지 않은 채 공식을 적용했기 때문에 바깥함수와 안쪽함수를 구분하지 못한 채 계산이 진행되었다. 따라서 개념 설명을 덧붙이기보다 선택 근거를 풀이 밖으로 드러내는 일이 먼저였다.
상자와 색 화살표로 바뀐 풀이 근거
학생은 안쪽 식에 상자를 치고, 바깥 미분과 안쪽 미분을 색이 다른 화살표로 연결했다. 원래 풀이를 지우지 않고 판단이 바뀐 줄 옆에 새 근거를 붙였다. 합성함수의 미분에서는 겉부분만 보는 것이 아니라 함수의 층을 나눈 뒤 바깥 미분과 안쪽 미분을 연쇄적으로 연결해야 한다는 기준이 풀이에 남았다.
겉모양을 먼저 계산하기보다 함수의 층을 표시하고 두 미분을 연결한다.
사흘 뒤 수치와 배열만 바꾼 문제에서의 재적용
사흘 뒤 수치와 배열만 바꾼 문제에서는 같은 판단 기준을 혼자 다시 사용하는지가 확인 대상이 되었다. 새 교재에서도 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는 모습이 나타나야 해당 항목을 완료로 옮길 수 있다. 지축동 수학과외에서 중요한 변화도 새로운 풀이법을 더한 것이 아니라, 바뀐 기준이 다른 문제에서 다시 나타나는지에 있었다.
다음 수업 첫 문제에서 바깥함수와 안쪽함수를 구분해 연쇄적으로 미분하는 모습이 보이지 않는다면, 연습량보다 도움의 크기를 조정하는 것이 다음 점검이다. 끝까지 남겨야 할 것은 힌트의 변화 자체가 아니라, 학생의 풀이에 수학적 판단 근거가 보이는가이다.