소사본동 중등수학과외, 문자식에서 곱셈기호 생략 규칙의 첫 판단 기준을 다시 세운 과정
중1 문자식 표현 자료에서 학생은 원래 곱셈식과 간단히 쓴 식을 연결한 대응표를 만들고, 다른 형식으로 제시된 공통 항목도 짝지어 표시했다. 그런데 숫자와 문자의 위치가 달라지자 같은 관계를 다른 규칙으로 받아들였다. 어떤 식에서는 숫자와 문자의 순서를 임의로 바꾸었고, 계수가 1인 경우에도 숫자 1을 반드시 써야 한다고 표시했다.
표 옆에 붙은 변형 사례를 나란히 놓자 판단 차이가 선명해졌다. 수의 계수는 문자 앞에 두지만, 곱셈기호와 계수 1은 관례에 따라 생략할 수 있었다. 표현이 바뀌어도 유지되어야 하는 것은 곱셈 관계였고, 숫자의 위치나 기호가 보이는 방식은 그 관계를 적는 표기상의 차이에 해당했다.
표의 모양이 바뀔 때 함께 바뀐다고 생각한 것
처음 학생의 메모에는 식의 배치가 판단 기준처럼 남아 있었다. 원래 곱셈식과 간단히 쓴 식이 위아래로 놓인 자료에서는 두 식의 대응을 찾았지만, 순서와 위치가 달라진 자료에서는 표시된 모양을 따라가며 새로운 규칙을 만들었다. 계수 1을 생략한 식을 보면서도 ‘1이 없어졌으니 다른 식’이라고 판단했다.
대응표를 다시 대조하는 과정에서 문제의 위치가 드러났다. 학생은 곱셈기호 생략 규칙이 가리키는 수학적 관계와, 그 관계를 나타내는 식의 표기법을 한 덩어리로 보고 있었다. 그래서 표기 방식이 달라질 때마다 관계까지 달라진 것처럼 느꼈다.
사라진 기호와 남아 있는 관계를 두 칸으로 나누다
학생은 대응표에서 결론을 정하는 정보부터 추렸다. 한 칸에는 표현마다 달라지는 부분을 적고, 다른 칸에는 반드시 유지되는 관계를 적었다. 예를 들어 곱셈기호는 생략될 수 있고 계수 1도 보통 쓰지 않지만, 수가 문자의 계수로 연결된다는 관계는 그대로 남겼다.
이 내용을 문장과 식, 그림 가운데 두 가지 형식으로 다시 기록하고 같은 정보를 나타내는 부분에 같은 번호를 붙였다. 기호가 사라진 자리와 실제로 달라진 수학적 관계를 구별하기 위해서였다. 이후 대응표를 볼 때에는 식의 위치보다 번호가 붙은 관계를 먼저 찾도록 표시 순서를 바꾸었다. 문자 앞의 수는 계수로 확인한다. 곱셈기호는 관례에 따라 생략할 수 있다. 계수 1은 보통 생략하지만 곱셈 관계 자체가 없어지는 것은 아니다.
순서와 위치를 바꾼 자료에서 먼저 맞춘 결론
재적용 자료에서는 숫자는 그대로 두고 정보가 놓인 순서와 위치만 바꾸었다. 기록 장치 없이 제시된 자료에서 학생은 먼저 두 표현이 가리키는 결론을 맞춰 보았다. 그다음 간단히 쓴 식에 값을 대입해 원래 곱셈식과 같은 값이 나오는지 확인했다.
두 식의 결과가 같으면 생략된 기호가 관계를 바꾸지 않았다고 판단했고, 값이 다를 때에는 숫자와 문자의 대응 요소부터 다시 확인했다. 이번에는 계수 1이 보이지 않는다는 이유만으로 숫자 1을 되살리거나 순서를 임의로 바꾸지 않았다. 계산을 길게 이어가기 전에 어떤 정보가 같은지를 먼저 골랐다.
표현이 달라진 두 식은 같은 관계를 나타낼 수 있지만, 실제 값까지 같은지는 대입으로 확인해야 했다. 결론을 먼저 맞춘 뒤 값을 비교하는 순서가 답안의 마지막 줄에 남았고, 대응이 맞지 않을 때 돌아갈 위치도 표시되어 있었다.
다음에 새로운 자료를 볼 때에는 불필요한 정보가 섞여 있어도 계산부터 시작하지 않고, 두 표현에서 먼저 유지되는 관계를 찾는지를 살핀다. 풀이를 닫기 전에는 두 표현의 결론을 맞춰 본 뒤 값을 대입하고, 결과가 다르면 대응 요소부터 다시 확인하는 행동이 나타나는지 관찰한다.