인계동 중등수학과외, 경우의 수의 합의 법칙과 곱의 법칙을 검산과 분리해 확인한 장면
한 줄짜리 기호식으로 바꾸기 전까지는 선택 단계 트리의 문장 표현이 비교적 분명해 보였다. 그런데 문장 표를 기호로 옮긴 뒤 변형 자료를 함께 제시하자 두 답안의 판단이 갈렸다. 원래 자료에서는 서로 다른 선택지를 더해야 했지만, 기호식에서는 선택지가 여러 개 보인다는 이유로 모두 곱한 흔적이 남았다.
학생의 메모에는 “많으면 곱하고 적으면 더한다”는 문장이 다시 적혀 있었다. 앞서 경우의 수를 다룰 때 고쳤던 기준이 표현을 바꾸는 순간 되돌아온 것이다. 같은 문제를 다른 모양으로 적었을 뿐인데, 표기 변화가 관계의 변화처럼 받아들여지고 있었다.
기호식으로 바꾸자 다시 나타난 판단
문장 표에는 선택 단계가 순서대로 적혀 있었고, 각 단계에서 무엇을 고르는지 표시되어 있었다. 이를 한 줄 기호식으로 전환하면서 학생은 단계의 관계보다 기호의 개수에 먼저 반응했다. 선택지가 많아 보이는 항은 곱하고, 항이 적어 보이는 부분은 더하는 방식이었다.
이때 문장 표현과 기호 표현을 나란히 놓고 비교했다. 서로 배타적인 선택 중 하나를 고르는 경우에는 각 경우를 더한다. 반대로 한 선택을 한 뒤 이어서 다음 선택까지 모두 해야 한다면 앞 단계와 뒤 단계의 경우를 곱한다. 판단 기준은 선택지의 많고 적음이 아니라 선택 사이의 관계였다.
예를 들어 음료 3가지 중 하나를 고르거나 간식 2가지 중 하나를 고르는 상황은 동시에 모두 선택하는 과정이 아니다. 따라서 전체 경우의 수는 3+2로 센다. 음료 3가지와 간식 2가지를 차례로 하나씩 고르는 상황이라면 각 선택이 이어지므로 3×2가 된다. 두 장면의 수가 비슷해 보여도 관계가 다르면 계산도 달라진다.
표현을 바꿀 때 옮겨 적은 한 개의 화살표
문장과 기호 사이를 오갈 때 빠진 정보를 찾기 위해 산출물 확인 칸을 만들었다. 표현을 바꿀 때마다 “서로 배타적인가”, “연속해서 모두 해야 하는가”를 확인하고, 그 조건이 문장의 어느 부분에서 기호의 어느 요소로 옮겨졌는지 화살표 하나로 표시했다.
문장 속 “또는”은 더하기로, “그리고 이어서”는 곱하기로 연결했다. 다만 단어만 기계적으로 대응하지 않고, 실제 선택 과정을 먼저 확인했다. 한 표현에서 얻은 판단을 다른 표현에 적용한 뒤 다시 처음 형식으로 돌아가 누락된 선택이나 조건이 없는지도 살폈다.
이 기록은 계산 과정을 길게 늘이지 않았다. 바뀐 표현에서 관계가 어디에 남아 있는지만 표시했기 때문에, 기호식으로 전환한 뒤에도 처음 자료의 선택 구조를 다시 대조할 수 있었다.
원형 자료를 치운 뒤에도 남은 순서
다음 자료에서는 선택 단계 트리나 문장 표를 보여 주지 않고 조건 목록만 제시했다. 학생은 먼저 조건을 두 묶음으로 나누었다. 둘 중 하나를 택하는 경우와 앞뒤 순서로 모두 거치는 경우를 구분한 뒤, 각각을 더할지 곱할지 정했다.
이번에는 확인 칸과 화살표를 가린 상태였다. 학생은 조건 목록에서 “하나를 선택”하는 부분과 “이후에 다시 선택”하는 부분을 직접 표시했다. 숫자나 배치가 달라졌지만, 두 표현에서 같은 관계를 먼저 찾은 뒤 식을 세우는 순서는 유지됐다.
계산보다 먼저 맞춰 본 두 결론
완료 여부는 식을 계산한 값만으로 판단하지 않았다. 학생은 문장으로 세었을 때의 결론과 기호식으로 계산했을 때의 결론을 먼저 맞춰 보았다. 이어 간단한 경우를 직접 나열해 실제 항목의 개수와 계산값이 일치하는지 확인했다.
나열한 경우의 수가 식의 결과와 다르면 곧바로 계산을 고치지 않고, 문장의 선택과 기호식의 요소가 서로 대응되는지부터 다시 확인했다. 두 표현의 결론이 같고 직접 센 개수까지 맞은 뒤에야 기록을 마쳤다.
다음에는 선택 단계 트리와 닮지 않은 새 산출물을 제시한다. 완료 전, 학생이 표현을 펼치기보다 먼저 두 결론을 맞춰 보고, 이어 가능한 경우를 짧게 나열하는지부터 관찰할 예정이다.