퇴계원 중등수학과외, 고도·거리 문제에서 큰 각보다 먼저 본 수평선
중3 고도·거리 문제를 풀던 학생의 풀이에는 계산보다 먼저 눈에 들어오는 흔적이 있었다. 종이에 수평선 두 개가 그려져 있었고, 각 관측점에서 뻗은 시선이 표시되어 있었다. 그런데 계산칸보다 앞쪽에 조건 확인칸이 따로 배치되어 있었다. 이전 답안에서는 이 칸이 없었다.
그림에서 가장 크게 보인 각을 골랐던 풀이
처음 학생은 그림에 보이는 각 중 가장 큰 각을 삼각비의 기준각으로 삼았다. 시선과 지면이 만나는 모양이 익숙했고, 각의 크기도 눈에 잘 띄었기 때문에 별도의 조건 확인 없이 직각삼각형에 대입했다. 계산식은 이어졌지만, 그 각이 실제로 어떤 선 사이에 놓였는지는 적혀 있지 않았다.
이 판단이 흔들리는 장면을 만들기 위해 관측점의 높이가 0이 아닌 경우를 추가했다. 지면 위 한 점에서 바라보는 표준 그림과 달리 관측점 자체가 높이를 가진 상황이었다. 겉모양은 비슷했지만, 수평선이 하나 더 생기면서 각의 대응 관계와 구해야 할 선분의 위치가 달라졌다. 익숙한 그림을 따라 큰 각을 고르면 두 상황의 결론이 같아지지만, 실제 조건은 같지 않았다.
수평선 옆에 생긴 세 칸
학생은 오답을 곧바로 다시 계산하지 않고, 먼저 그림의 수평선 두 개와 시선 표시를 살폈다. 결과가 어떤 모양이어야 하는지 예상한 뒤 올려다본각과 내려다본각의 조건을 뒤늦게 끼워 맞추고 있었기 때문에, 새로 넣은 상황도 기존 그림과 같은 방식으로 처리한 것이다.
다시 풀 때는 판단 근거를 연산식보다 앞에 적었다. 수평선 사이의 평행 관계를 이용해 올려다본각과 내려다본각이 어떤 각과 대응하는지 확인하고, 실제로 사용할 직각삼각형을 따로 분리했다. 그 옆에는 ‘성립 / 불성립 / 이유’ 세 칸을 만들었다. 삼각비를 계산하는 줄과 기준각을 선택한 줄도 나누었다. 따라서 계산값이 맞더라도 기준각 선택에서 근거가 빠지면 풀이가 멈추도록 기록이 바뀌었다. 수평선과 시선이 만드는 각의 관계가 성립하는가 사용할 직각삼각형의 세 변이 그림에서 구분되는가 선택한 각을 기준으로 삼을 이유가 적혀 있는가
경계값이 들어간 적용 범위 문항
며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 고도·거리 문제의 표준 사례 뒤에 경계값 하나가 붙은 문항을 제시했다. 관측점의 높이와 선분의 배치 중 하나가 달라져 같은 그림처럼 보이지만, 기존 대응 관계를 그대로 쓸 수 있는지 먼저 판단해야 하는 상황이었다.
이번에는 도움을 기다리지 않고 그림의 수평선을 먼저 표시했다. 이어 시선을 따라가며 올려다본각과 내려다본각의 위치를 구분하고, 그 조건에 맞는 직각삼각형을 직접 골랐다. 계산을 끝낸 뒤에는 답을 바로 옮기지 않고, 구한 길이가 그림에서 높이인지 수평거리인지 단위와 위치를 대조했다.
다음 문제에서 먼저 나타나야 할 표시
한 주 뒤에는 숫자와 배치 중 하나만 바꾼 문제를 다시 본다. 학생이 계산칸으로 곧장 내려가지 않고, 수평선과 시선을 표시한 뒤 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지를 확인한다.