교문동 중등수학과외, 내심과 세 변까지의 거리 검산을 계산과 분리해 확인한 장면
그런데 앞서 작성한 메모에는 “내심에서 꼭짓점까지의 거리가 같다”는 판단이 남아 있었다. 세 꼭짓점까지의 선분을 비교해 내심의 성질을 설명하려 한 것이다. 처음 사용한 기준만 보면 정삼각형이나 모양이 비슷한 삼각형에서는 맞는 것처럼 보일 수 있었다.
크기가 크게 다른 삼각형에서 끊긴 판단
이 기준이 우연히 맞은 것인지 확인하기 위해 삼각형의 크기와 모양을 크게 바꿨다. 학생은 곧바로 수치를 계산하지 않고, 어느 조건에서 기존 판단이 깨지는지 그림 위에 표시했다. 꼭짓점까지의 거리를 비교하는 방식으로는 새 그림의 성질을 설명하기 어려웠고, 각의 이등분선과 수선이 놓인 위치가 서로 다른 역할을 한다는 점이 드러났다.
오판의 원인은 내심의 성질을 전혀 몰랐기 때문이라기보다, 문장과 그림의 배치가 달라졌는데도 이전 문제에서 쓰던 판단 순서를 그대로 적용한 데 있었다. 각의 이등분선과 수선을 표시한 표에서 그 흐름이 가장 분명했다. 선분의 길이를 먼저 비교한 뒤 조건을 찾으려 하자, 그림에 제시된 수선 표시가 판단에서 빠졌다.
정의 칸과 계산 칸을 나누어 다시 적기
학생은 표를 두 단계로 나눴다. 먼저 내심을 “삼각형의 세 각의 이등분선의 교점”으로 확인하고, 그다음 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이를 비교하도록 순서를 바꿨다. 내심과 세 변까지의 거리는 꼭짓점까지의 거리를 비교하는 성질이 아니다. 내심에서 각 변까지의 수직거리 세 개가 같다는 조건으로 확인해야 한다.
이 기준을 표준적인 그림에만 맞춰 적지 않기 위해 모양이 달라진 예와 경계에 가까운 예를 함께 대조했다. 각의 이등분선이 실제로 내심을 결정하는지, 수선의 발이 각 변에 놓이는지, 세 수선의 길이를 같은 대상으로 비교하고 있는지를 차례로 확인했다. 조건을 통과한 뒤에야 같은 판단을 다른 삼각형에도 적용했다.
풀이 근거 칸에는 긴 설명 대신 조건 번호만 남겼다. 각의 이등분선이 만나는 지점에는 해당 조건을, 내심에서 변으로 수직선을 내린 부분에는 수선 조건을 표시했다. 계산 결과만 적는 대신 어떤 표시를 보고 답을 선택했는지 추적할 수 있게 만든 기록이었다.
경계값 하나를 넣은 새 문항
재확인 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고, 표준 사례 뒤에 경계값 하나를 추가했다. 그림의 모양과 자료 제시 방식이 달라진 상황에서 학생은 먼저 판단 근거를 적고 계산으로 넘어갔다. 내심으로 추정한 점에서 각 변에 수선을 내려 세 길이를 확인한 뒤, 같다는 결과를 이용해 답을 확정했다.
이때 예전처럼 꼭짓점까지 이어진 선분의 길이를 먼저 비교하지 않았다. 문제에 공식 이름이 직접 제시되지 않아도 각의 이등분선의 교점인지, 세 변까지의 수선거리를 비교해야 하는지부터 표시했다. 계산은 그 뒤에 배치됐다.
다음 문제에서 먼저 보게 될 표시
다음 문항에서는 공식명이 가려진 상태에서 성립 조건과 예외의 경계를 먼저 가르는지를 살핀다. 답을 적기 전, 학생의 풀이 근거 칸에 각의 이등분선과 수선의 조건 번호가 먼저 나타나는지, 내심에서 각 변으로 내린 세 수선을 같은 기준으로 확인하는지를 관찰한다.