내발산동 중등수학과외, 섞여 있던 두 이등분선을 가려낸 삼각형 중심 풀이
수직이등분선에 남은 그림에는 각의 이등분선과 변의 수직이등분선을 섞어 중심을 표시한 흔적이 있었다. 선은 여러 개 그려져 있었지만, 왜 그 선을 사용했는지는 답안에 적혀 있지 않았다. 중2 삼각형의 외심과 내심을 구분하는 과정에서 처음 답과 고친 답을 나란히 맞대자, 단순히 중심의 위치를 잘못 찍은 장면보다 먼저 살펴볼 부분이 드러났다.
익숙한 선을 먼저 적용한 첫 판단
처음 학생이 세운 기준은 삼각형 안의 특별한 점이라면 모두 꼭짓점과 변에서 같은 거리를 가질 것이라는 생각이었다. 그래서 각의 이등분선이 필요한지 살피기 전에, 익숙하게 보이는 선부터 이용해 중심을 표시했다. 이때의 문제는 외심과 내심의 이름을 몰랐다는 데 있지 않았다. 두 중심을 만들 때 사용하는 선을 구별하기 전에 하나의 기준으로 묶어 본 것이 출발점이었다.
답안에는 각의 이등분선과 변의 수직이등분선이 함께 나타났고, 중심을 표시한 그림도 남아 있었다. 그러나 그 표시가 어떤 거리 관계를 근거로 한 것인지는 이어지지 않았다. 처음 판단은 그림에 선을 추가한 행동으로 보였지만, 실제로는 선의 종류와 같은 거리의 대상을 연결하지 않은 상태였다.
수직이등분선과 거리 대상이 갈린 줄
지운 줄을 복원하자 각의 이등분선이 처음 필요한 위치가 보였다. 비교 대상은 수직이등분선과 같은 거리 대상 메모였다. 수정 전후 자료를 맞대는 과정에서 수직이등분선과 같은 거리 대상 메모가 갈리는 줄이 드러났고, 그 지점에서 실제 오류가 시작된 이유를 좁힐 수 있었다.
외심과 내심을 만드는 선이 서로 다르고, 같은 거리를 재는 대상도 서로 다르다는 점이 구분되지 않은 것이다. 외심은 변의 수직이등분선과 연결되고 꼭짓점까지의 거리를 비교한다. 내심은 각의 이등분선과 연결되며 세 변까지의 거리를 비교한다. 처음 풀이에서는 이 두 관계가 한 줄의 기준처럼 처리되면서 각의 이등분선이 필요한 단계가 빠졌다.
선과 거리의 대상을 따로 적은 수정
학생은 외심에는 변의 수직이등분선을, 내심에는 각의 이등분선을 각각 표시했다. 이어 외심은 꼭짓점까지, 내심은 세 변까지의 거리가 같다는 메모를 붙였다. 선의 이름만 바꾼 것이 아니라, 각 선이 어떤 같은 거리와 이어지는지 답안에 남긴 것이다.
한 화면에 수직이등분선, 각의 이등분선, 같은 거리 대상 메모를 놓고 수정 전후를 비교했다. 자료의 순서도 수직이등분선에서 각의 이등분선으로, 다시 같은 거리 대상 메모로 이어졌다. 이렇게 나란히 남긴 줄은 처음 중심 표시와 고친 판단이 어느 부분에서 달라졌는지 보여 주었다. 내발산동 중등수학과외 관련 본문에서 다룰 수 있는 핵심도 이러한 풀이 흔적처럼, 답의 결과보다 선과 거리 대상을 연결한 과정에 있다.
이름을 가린 문제에서 다시 이어진 근거
조건이 바뀐 뒤에는 둔각삼각형에서도 외심의 위치를 도형 밖까지 포함해 찾았다. 중심 이름을 가린 문제에서는 이름을 먼저 떠올려 표시하지 않고, 그려진 선의 성질을 보고 외심과 내심을 판별했다. 새 문항에서도 수직이등분선에서 같은 거리 대상 메모까지 이어지는 근거를 다시 남겼다.
이 장면은 같은 그림을 다시 베껴 쓴 것이 아니다. 달라진 도형에서는 외심이 놓일 수 있는 위치까지 살피고, 이름이 가려진 문항에서는 선의 성질을 기준으로 구분했다. 처음에는 특별한 점을 하나의 방식으로 보았지만, 이후에는 어떤 선이 만나는지와 누구까지의 거리를 비교하는지를 먼저 적는 방식으로 바뀌었다. 다음 문제에서 학생이 남길 최소 점검은 분명하다. 중심을 찾기 전에 어떤 선들이 만나는지 이름을 적고, 같은 거리를 재는 대상이 꼭짓점인지 변인지 대조하는 것이다. 새 문항의 첫 줄에 각의 이등분선이 먼저 남았는지도 본다.