단대동 중등수학과외, 거듭제곱의 거듭제곱 새 문항에서 스스로 회수한 적용 조건
책상 위에는 거듭제곱의 거듭제곱을 여러 방식으로 나타낸 자료가 놓여 있었다. 한쪽에는 지수의 층마다 괄호가 표시되어 있었고, 다른 쪽에는 같은 역할을 하는 항목끼리 짝이 맞춰져 있었다. 학생은 원자료에서 정답을 찾아 표시했지만, 표의 강조와 배열을 바꾼 자료를 보자 계산 방향을 바로 이어 가지 못했다.
처음에는 “(am)n에서는 지수를 더한다”는 식으로 기억하고 있었다. 그런데 실제로는 정답이 나온 화면의 모양을 기억한 것이어서, 괄호의 위치와 표시 방식이 달라지면 왜 그런 계산을 하는지 설명하지 못했다. 답을 맞힌 장면은 남아 있었지만, 그 답을 만든 관계는 남아 있지 않았다.
괄호 하나를 바꾸자 계산 규칙이 흔들렸다
같은 자료에서 한 조건만 바꾼 대조 항목을 만들었다. 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 바깥 지수는 안쪽 거듭제곱의 각 인수를 몇 번 반복할지를 나타낸다. 따라서
(am)n = amn
이 된다. 안쪽의 a가 m번 반복된 묶음을 n번 다시 반복하므로, 같은 인수의 전체 개수는 m을 n번 더한 값이 아니라 m×n이다. 원래 표와 변형 표를 각각 해석한 뒤 두 결과가 같은 결론으로 이어지는지 확인하자, 학생이 의지하던 화면의 모양과 실제 판단 근거가 분리되기 시작했다.
오판의 원인은 지수 계산 자체를 몰라서가 아니었다. 문장으로 설명한 관계를 기호로 옮기고, 다시 기호를 문장으로 되돌려 보는 경험이 적었던 것이다. 지수 층별 괄호 표에서는 이 차이가 특히 선명했다. 괄호와 강조 표시가 달라지자 표기 변화가 개념 변화처럼 느껴졌다.
모양을 가리고 남은 관계를 먼저 적었다
교정에서는 틀린 답을 지우고 새 답을 적는 데 머물지 않았다. 표면 모양을 가린 상태에서 “안쪽 거듭제곱의 인수 반복이 바깥 지수만큼 다시 반복된다”는 관계를 먼저 말하게 했다. 그 문장만 가지고 원자료와 변형자료를 해석하도록 순서를 바꾸었다.
풀이 옆에는 판단 근거를 한 문장으로 기록하고, 두 자료에서 같은 역할을 하는 정보에 같은 기호를 붙였다. 안쪽 지수에는 m, 바깥 지수에는 n을 표시했다. 자료의 배열이 바뀌어도 어느 수가 한 묶음 안의 반복 횟수이고 어느 수가 그 묶음의 반복 횟수인지 찾아볼 수 있게 되었다.
강조 표시를 없앤 새 문항에서
다음에는 색이나 괄호 강조를 없애고 항목의 배치만 바꾼 자료를 제시했다. 학생은 곧바로 계산하지 않고 먼저 판단 근거를 적었다. 그 뒤 두 표현에서 대응하는 요소를 찾아 식을 세웠다. 답을 확정하기 전에는 두 표현이 내놓는 결론을 먼저 맞춰 보았다.
이번에는 교사가 순서를 알려 주지 않았는데도 작은 지수를 넣어 직접 전개했다. 예를 들어 안쪽 지수가 2이고 바깥 지수가 3인 경우, a2라는 묶음이 세 번 이어지므로 a가 모두 여섯 번 나타난다고 세었다. 계산한 지수 2×3과 전개해서 센 개수가 일치하자 답을 적었다. 일치하지 않았을 때는 식을 새로 외우려 하지 않고, 두 자료에서 대응시킨 요소부터 다시 확인했다.
마지막으로 표 대신 문장이나 그림으로 제시된 거듭제곱의 거듭제곱 자료를 다시 살핀다. 괄호, 식, 반복 묶음 가운데 어느 형식으로 바뀌어도 같은 관계를 먼저 찾아 적는지가 다음 관찰 장면이 된다.