송내동 중등수학과외, 같은 부호 유리수의 덧셈에서 첫 근거를 다시 찾은 기록
계산표의 네모 표시부터 살펴보았다. 중1 학생은 같은 부호 유리수의 덧셈 표현 자료를 풀면서 부호 칸과 크기 칸을 나누어 적어 두었고, 표 안에서 변하지 않는 값만 네모로 묶었다. 그런데 식의 모양이 바뀐 자료에서는 그 표시를 그대로 옮기지 못했다. 답을 구하는 과정에서 익숙한 판단이 먼저 나왔기 때문이다.
네모 표시보다 먼저 나온 ‘큰 절댓값’ 판단
학생의 메모에는 같은 부호끼리 더하는 상황에서도 큰 절댓값을 찾고 그 수의 부호를 따라가야 한다는 흔적이 남아 있었다. 서로 다른 부호의 덧셈에서 자주 사용하는 절차가, 부호가 같은 경우에도 그대로 끼어든 것이다. 계산 결과 자체보다 어떤 순서로 판단했는지가 표에 드러났다.
부호 칸을 다시 확인하자 원인이 구체적으로 보였다. 학생은 원자료에서 답이 나온 순서를 기억하고 있었지만, 그 순서 속에서 계속 유지되는 관계를 별도로 뽑아내지는 못했다. 따라서 기호가 달라지면 같은 구조를 알아보지 못하고, 다른 유형의 판단 기준을 가져왔다.
표·식·그림을 연결한 한 문장
대조 자료에서는 적용 범위를 분명히 했다. 두 수의 부호가 같다면 절댓값을 더하고, 결과에는 두 수가 공유한 부호를 그대로 붙인다. 이때 큰 절댓값의 부호를 새로 고르는 과정은 필요하지 않다. 예를 들어 양수와 양수를 더하면 크기를 합친 양수가 되고, 음수와 음수를 더하면 크기를 합친 음수가 된다.
학생은 재풀이 표시 옆에 이 관계를 한 문장으로 적었다. 이어 원자료와 변형자료에서 같은 역할을 하는 정보에 같은 기호를 붙였다. 부호를 나타내는 부분과 크기를 나타내는 부분을 각각 연결한 뒤, 표현을 식에서 표로 바꾸어도 두 요소의 역할이 유지되는지 계산 없이 먼저 살폈다. 같은 부호인지 확인한다. 절댓값은 더한다. 공통 부호를 결과에 유지한다.
문자가 바뀌어도 같은 구조를 찾았는가
다음 자료에서는 숫자와 기호가 달라지고, 앞서 사용한 문자가 다른 문자로 바뀌었다. 학생은 부호 칸을 그대로 찾으려 하지 않고, 두 항에서 공통으로 유지되는 역할부터 표시했다. 두 표현의 결론을 먼저 나란히 적은 뒤, 어느 항이 부호를 담당하고 어느 항이 크기를 담당하는지 대응시켰다.
이 과정은 도움 없이 진행되었다. 학생은 다른 자료로 기준을 옮긴 뒤, 계산을 시작하기 전에 두 표현에서 같은 관계가 나타나는지 표시했다. 결론이 다르게 나오자 답을 곧바로 고치지 않고 대응 요소부터 다시 확인했다. 이후 수직선에 두 수의 방향을 표시해 결과의 부호가 두 방향과 맞는지, 결과의 크기가 두 이동량을 합친 값과 맞는지 살폈다.
다음 자료에서 가장 먼저 볼 장면
이후에는 부호 칸이 없는 자료를 제시한다. 표 대신 그림이나 문장으로 관계가 주어졌을 때에도 학생이 같은 역할의 정보를 먼저 묶는지 관찰할 예정이다. 답을 계산하기 전 두 표현의 결론을 맞춰 보고, 결과의 부호와 크기가 수직선의 두 방향과 이어지는지 확인하는 행동이 먼저 나타나는지를 본다.