일산동구 중등수학과외, 세 변 길이가 모두 양수여도 삼각형이 되지 않는 이유
중1 삼각형 작도 가능 조건을 살펴보던 중, 학생은 세 변 길이를 막대로 나타낸 그림 옆에 판단 근거가 비어 있는 부분을 표시했다. 막대의 길이가 모두 양수라는 점은 확인했지만, 그다음에 왜 삼각형이 만들어지는지 설명하는 줄은 없었다. 기존 답안에는 길이 세 개가 양수라는 사실만 적혀 있었고, 가능 여부를 가르는 비교는 빠져 있었다.
세 막대가 모두 있어도 끝점이 만나지 않는 경우
처음 학생이 사용한 기준은 간단했다. 세 변의 길이가 모두 양수이면 각각의 변을 실제로 그릴 수 있으므로 삼각형도 만들 수 있다고 보았다. 그러나 세 막대 길이의 합이 정확히 같거나, 한 막대가 나머지 두 막대의 합보다 긴 경계 사례를 나란히 제시하자 판단이 갈라졌다.
예를 들어 가장 긴 막대의 길이가 5이고 나머지 두 막대가 각각 2와 3이면, 짧은 두 막대를 이어도 길이 5에 정확히 닿을 뿐 내부가 생기지 않는다. 6, 2, 3처럼 가장 긴 변이 더 길면 두 짧은 변의 끝점이 그 막대의 양 끝을 연결하지 못한다. 세 길이가 모두 양수라는 조건은 막대가 존재한다는 필요조건일 뿐, 삼각형이 작도된다는 충분조건은 아니었다.
답을 고치기보다 판단과 계산을 분리하다
학생은 재풀이 표시를 하면서 세 변 길이 막대 그림의 두 사례에 서로 다른 조건을 화살표로 연결했다. 한쪽에는 “두 짧은 변의 합이 가장 긴 변보다 큰가?”를 적고, 다른 쪽에는 실제 합을 계산했다. 이후에는 판단 문장과 연산을 같은 줄에 섞지 않고 다음처럼 나누어 기록했다.
판단: 가장 긴 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다.
연산: 짧은 두 변의 합을 구한 뒤 가장 긴 변과 비교한다.
이렇게 적자 그림에서 보이는 막대의 개수와 작도 가능 여부를 구분할 수 있었다. 숫자를 먼저 더한 뒤 결론을 붙이는 방식이 아니라, 가장 긴 변을 찾고 비교할 대상을 정한 다음 계산하는 순서가 답안에 남았다.
조건의 제시 순서가 바뀐 변형 문항
다음 문항에서는 같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고, 삼각형 작도 가능 조건 두 가지의 제시 순서를 바꾸었다. 먼저 계산하기 어려운 형태로 조건이 배열되어 있어 학생이 익숙한 문장부터 찾으려 할 수 있는 자료였다.
학생은 교사의 질문 없이 세 길이를 읽고 가장 긴 변을 따로 표시했다. 이어 나머지 두 길이의 합을 계산한 뒤, 그 값이 가장 긴 변보다 큰지 비교하여 답을 정했다. 원래 답안처럼 “양수이므로 가능”이라고 쓰지 않고, 비교 결과를 근거로 문장을 완성했다.
마지막에는 자와 컴퍼스를 이용한 실제 작도와 연결했다. 두 변을 중심으로 그린 원호가 조건에 따라 한 점에서 만나 삼각형이 되거나, 두 점에서 만나 두 가지 모양이 생기거나, 서로 만나지 않을 수 있음을 자료 옆에 구분해 적었다. 답의 번호만 남기는 대신 조건과 작도 결과를 함께 기록한 것이다.
다음 문제에서 먼저 볼 자리
다음 삼각형 작도 가능 조건 문제는 표나 그림처럼 다른 형식으로 제시한다. 이때 학생이 숫자 계산부터 시작하는지, 아니면 가장 긴 변과 나머지 두 변의 관계를 먼저 표시하여 성립 조건과 예외의 경계를 가르는지를 본다.